Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
6.1.4. Дії з векторами : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

6.1.4. Дії з векторами


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

• Означення 5. Сумою двох векторів a та b називають век-

тор с, який сполучае початок автора а з кіпцем вектора Ь при

умові, що початок вектора Ь вміщено в кінець вектора a.

Наприклад, задані вектори а та Ь (мал. 6, а). Для побудування суми цих векторів а перенесли паралельно самому собі, в його кінець

вмістили початок вектора Ь та сполучили початок вектора а з

кінцем вектора Ь (мал. 6, V).

a

a)         Ь)        Ь

c=a + b

ь

Мал. 6.

Суму кількох векторів а, Ь,..., I визначають аналогічно: поча-ток кожного наступного вектора вміщують в кінець попереднього. Одержують ламану лінію і тоді вектор, який сполучає початок пер-шого вектор з кінцем останнього і є сумою цих всіх векторів.

^ Зауваження. Різницю двох векторів a ma b будують як суму вектора a ma вектора I —Ь ). Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

Наприклад:

a r

d = a-b \^y^ a

Мал. 7.

•          Означення 6. Добутком вектора а на число k називають

вектор b = ka, колінеарний з вектором a, що мас довжину в k раз більшу, ніж a ma напрям такий самий, як а, якщо k > 0 і протилеж-ний do а, якщо k < 0.

•          Означення 7.Скалярним добутком векторів a та b нази-

вають число, яке дорівнюе добутку модулів цих векторів на косинус

кута <р між ними. Скалярний добуток векторів a ma b позначають a-b, або I a,b I.

Отже, згідно з означенням:

a-b = \a\

cos<p. (1)

Тепер розглянемо дії з векторами, заданими в координатній формі.

1.         Правило множення вектора на число.

Щоб помножити вектор а на число k, треба усі координати век-тора помножити на число k, тобто ka = ikav ka2,...,kan).

2.         Правило знаходження алгебраїчної суми векторів.

Координати алгебраїчної суми скінченног кількості векторів дорів-нюють такій же алгебраїчній сумі відповіднш координат цих векторів.

Так, у випадку алгебраїчної суми трьох векторів:

a = (ava2,...,an), b = (bvb2,...,bn), с = (cvc2,...,cn),

їх алгебраїчна сума a — b + с знаходиться за формулою

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

a-b + c = (ai-bi + cv a2-b2+c2,...,an-bn+cn.

3. Знаходження скалярного добутку векторів a та b

Згідно з правилом множення матриць одержимо:

(ЬЛ

a-b = [ava2,...,an\

= albl+a2b2+... + ab>

(2)

AJ

тобто скалярний добуток двох векторів дорівнюе сумі добутків їх од-нойменних координат.

Якщо а = Ь , тоді кут між ними <р дорівнює нулю, cosO°=l і з формули (1) випливає, що а-а = \а\ .

Звідси одержуємо \а\ = \а-а , або, враховуючи формулу (2)

\a\ = Ja2 + a2 + ... + a2

12        п

(3)

Із формули (1) маємо:

coscp =

a-b

a

(4)

Шдставимо формули (2) та (3) у формулу (4), тоді одержимо

формулу для знаходження косинуса кута між векторами а та b у вигляді:

cos^ =

aA+a2b2+... + anbn

(5)

 

142

а2 + а2 + ... + а2 ■. b2 + b2 + ... + b*

12        п V 1   2          t

Якщо a J-6, ТОДІ <р = 90°, cos90° = 0 і одержимо

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

a-b=0.

(6)

B Приклад. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побу-дованого на векторах a = (2, 1, 0) та Ь = (0, -2, 1).

^> Розв’язання. За умовою задачі паралелограм побудований на векторах а та Ь (див. мал. 8).

С

D

А         т          " В

b

Мал. 8.

Позначимо цей паралелограм ABCD (а та Ь - довільні):

a = AD = BC; Ь =АВ; -b = CD; AC = a + b; BD = a-b.

Отже, діагоналі паралелограма, побудованого на векторах а та

b (довільних) будуть вектори АС = а + Ь] та BD = а — Ь . Знайде-мо координати цих векторів для заданих векторів а та b '■ AC = d + b = (2 + 0; 1 + (-2); 0 + l) = (2; -1; і),

Ш = а-Ь =(2-0; 1-(-2); 0-і) = (2; 3; -і).

Тепер за формулою (5) можна знайти косинус потрібного кута, який позначимо ср\

0

ACBD 2-2 + (-1)-3 + 1-(-1)  44

COS^

AC                  BD

^/22 + (-1)2 +12 • ^22 + 32 + (-1)2 V6-VI4

3 рівності cos^ = 0 випливає, що (p = 7l/1, тобто ці вектори взаємно перпендикулярні.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»