6.1.3. Координати векторів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Спочатку нагадаємо поняття числової осі та систем координат. Числовою віссю називають пряму, на якій визначено:

1)         напрям (—>) зростання;

2)         початок відліку (точка 0);

3)         відрізок, який приймають за одиницю масштабу.

Дві взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку (точка 0) називають прямокутною декартовою системою координат на площині (у двовимірному просторі Е2).

Три взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку (точка 0) називають прямокутною декартовою системою координат у просторі (у тривимірному просторі ЕЛ.

Ha малюнку 3 зображені:

a)         прямокутна декартова система координат на площині;

b)         прямокутна декартова система координат у просторі.

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

 

Y a

 

У 1

1x a)

M(r, y)

X

x X

z

1

11 2

* _ M(x, y, z)

1

У Y

b)

Мал. 3.

Вісь Ox називають віссю абсцис; Oy - вісь ординат; Oz - вісь

аплікат. Орт осі Ох позначають і , орт осі Оу - вектор /, орт осі

Oz - вектор k ■

Упорядкована пара чисел що відповідає точці М площини хОу, називається декартовими прямокутними координатами точки М, це позначають М(х, у).

Упорядкована трійка чисел (х, у, z), що відповідає точці М про-стору Ozyx, називається координатами точки М декартової прямо-кутної системи координат у просторі, це позначають М(х, у, z).

Відмітимо, що існують інші системи координат на площині та у просторі.

Дамо поняття проекції вектора на вісь. Нехай заданий вектор АВ та вісь /. 3 точок А і В опускаємо перпендикуляри на вісь /. Одержи-

мо точки Д та Д - проекції точок А та В.

• Означення 2. Проекцією вектора АВ на вісь називаеться

довжина вектора А1ВІ, яка езята із знаком «+», якщо напрям cniena-

дае з напрямом осі та із знаком «-», якщо напрями протилежні (див. мал. 4).

Позначають: nptAB.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

• Означення 3. Кутом між двома векторами (або між век-тором та віссю) називають найменший кут між їх напрямами при умові, що вектори зведені до спільного початку (див. мал. 4).

А

 

B

B

А

 

А

B

B

А

 

a)

b)

Мал. 4.

Знайдемо прl AB . У випадку а) маємо:

прlAB= A1B1 У випадку b) маємо:

AC

AB

 

прl

AB = -AB1=-AC

AB

•cos(l80°-a) =

AB

■ cos a.

Таким чином, проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжи-ни вектора на косинус кута між вектором і віссю.

Ф Означення 4. Координатами вектора називають проекції век-тора на осі координат.

Нехай вектор a має координати a ,a ,a тобто a = \a ,a ,a ) і

утворює з осями координат кути а, Д у, тоді,

ax=\a\cosa, a =\a\cosf3, az=\a\cosy.

cos or, совД cosy, називають напрямними косинусами вектора.

3 попередніх формул маємо:

cos a =

a

a

cos J3 = ay

\a\

cos y =

a

a

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

 

i           L Y                 

Уп •s 1                       1         

 

                        /\         

            Mt ^r   < [      

У,

•s 1                             X

0          1          x,

1         

Розглянемо вектор a = MtM2,

де M1(x1,y1) - початок вектора,

M2yx2,y2J - кінець вектора (див. мал. 5). В цьому випадку

np,xMxM2=x2-xv

Мал. 5.

пр0 MtM2 =y2-yv

тобто координати вектора MtM2 -

це впорядкована пара чисел (х2-х1; у2~уЛ-

Аналогічно одержуємо, що координатами вектора MtM2 у про-

сторі буде впорядкована трійка чисел (х2—хі; у2—у{, z2—zA. Отже, можна сформулювати правило:

Координати еектора МХМ2 дорівнюють різниці еідпоеіднш ко-ординат кінця та початку вектора.

Наприклад, вектор а, початок якого знаходиться в точці

Mt (2,— 3,0), кінець - в точці М2 (1,1,2), має координати

а =(1 - 2; 1 + 3; 2 - 0) = (-1; 4; 2).

^ Зауваження. Вектор ОА (де точка О - початок координат) називають радіусом-вектором точки А і позначають г . Коорди-нати вектора г співпадають з координатами точки А.

По аналогії з векторами а = (ах,а ) із Е2 та Ь = (bx,b ,Ь)є Е3 вектор-рядок та вектор-стовпець, які містять п елементів, розгляда-ють як вектори із и-вимірного простору Еп , а їх елементи називають координатами вектора.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Наприклад,

W — I JL1 , .A- 2 , * * • , J^7 11 J-s7 ;        -t —

У