5.4. Задачі економічного змісту


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

загрузка...

Задача знаходження коефіцієнтів повних та непрямих витрат, плану та програми виробництва

Підприємство складається з трьох цехів, кожен з яких виробляє один вид продукції. Прямі виграти одиниць і-го цеха, що використо-вуються (проміжний продукт) для випуску одиниці виробу продукції j-го цеха, а також кількість одиниць продукції і-го цеха, призначених до реалізації (кінцевий продукт), задані у таблиці 5.

Таблиця 5

 

Продукція цехів         Прямі витрати           Кінцевий продукт

 

            1          2          3         

 

1          0          0,2       0          200

2          0,2       0          0,1       100

3          0          0,1       0,2       300

Визначити:

1)         коефіцієнти повних витрат;

2)         план (валовим випуск) кожного цеха;

3)         виробничу програму цехів;

4)         коефіцієнти непрямих (посередницьких) витрат.

^> Розв’язання. Таблицею 5 задана матриця витратних ко-ефіцієнтів

A

( 0 0,2 0 ї

0,2 0 0,1

0 0,1 0,^

 

\Xrij

Г200^

100

v300y

Позначимо: виробничу програму підприємства Х, де X (х1, х2, х3 – плани валового випуску продукції цехів); валовий випуск

           

товарної продукції Y, де Y

Частина 5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Виробничі взаємні зв’язки підприємства задовольняють умовам

хі -(0-Хі+0,2-х2+0-х3) =200 х2 -(0,2-Xj+0-х2+0,1-х3) =100^ х3 -(О-^+ОД-Хз+О^-Хз) =Г

 

-0,2х

-0,lx

= 200 -0,1х3 =100. +0,8х3 =300

(1)

У матричному вигляді:

X - AX = Y => EX - AX = Y => (Е - А)Х = Y, де Е - одинична матриця.

Позначимо Е - А = В. Тоді система лінійних алгебраїчних рівнянь (1) у матричному вигляді буде

ВХ = Y,          (2)

причому

в

 

(\ о о^ 

01 0     -

[о 0 1, 

 

0 0,2 0 >                     ( 1        -0,2     0 >|

0,2 0 0,1          =          -0,2     1          -од

0 0,1 0,2у                    1 о       -од      0,8

Елементи матриці В–1 – це коефіцієнти повних витрат. Тому, щоб задовольнити першу вимогу задачі, треба знайти В–1. Матриця В квадратна 3-го порядку, її визначник |В| = 0,8 – 0,01 – 0,032 = 0,758. Тому В–1 існує і систему (1) можна розв’язати матричним методом.

Для знаходження матриці В–1 знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці В:

£31=0,02;

521=0Д6;

0,8; 0,1;

0,16: 0,02

В.

В.

0,1;

0,96.

21

32

в.

в.

зз

23

Отже, оберненою до В матрицею буде

Вп=0,79 В

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

f0,79 0,16 0,02^ fl,04 0,21 0,В

0,758

0,16 0,8 0,02 0,1

0,1 0,96

1.         0,21 1,05 0,13 0,03 0,13 1,Коефіцієнти повних витрат знайдені (це елементи матриці В–1).

2.         Знайдемо розв’язок системи (1) матричним методом:

х =

х

 

Чхзу

= B~XY =

'1,04 0,21 0,03^ Г200^| f238^ 0,21 1,05 0,13 • 100 = 186 0,03 0,15 1,27) I 300 J I Отже, плани валового випуску продукції: для першого цеху х1 = 238, для другого – х2 = 186, для третього – х3 = 400.

3. Визначимо виробничу програму кожного цеха використовую-чи витратні коефіцієнти аij (елементи матриці А) та співвідношення:

■xt =0-238 = 0; xi2 = ai2 -x2 =0,2-186 = 37,2 = 37;

a

13

13

ЛУА A             LA; A A

 

31

42

x22 (i22

 

■x3 =0-400 = 0; x2i •i =0-186 = 0; x=a

32

■ X =0-186 = 0; x

23

32

■xt= 0,2 -238 = 47,6 = 48;

■x3 =0,1-400 = 40;

■x =0,1-186 = 18,6 = 19;

 

33

x

a33-x3 =0,2-400 = 80.

Таким чином одержали:

4. Коефіцієнти непрямих (посередницьких) витрат Сij (елементи матриці С) визначається як різниця повних внутрішньовиробничих витрат (елементи матриці В–1) та прямих витрат (елементи аij мат-риці А). У матричному вигляді матриця коефіцієнтів непрямих вит-рат буде:

C = Bi-A

 

0,21 1,05 0,13 0,03 0,13 1,27

f 1,04 0,21 0,03^ ( 0 0,2 0 ^ 0,2 0 0,1 0 0,1 0,2

fl,04 0,01 0,03 0,01 1,05 0,03 0,03 0,03 1,^ Зауваження. У випадку більшої кількості цехів на підприемстві задача розв’язується тахим же чином, але вимір матриць буде бшьшим.

Частина 5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Якщо система лінійних алгебраїчних рівнянь (аналог системи (1)) буде залежати від багатьох невідомих, то її розв’язок доцільно знаходити методом Гаусса-Жордана.

Задача знаходження витрат сировини, палива та трудових ресурсів

У таблиці 6 для розглянутого у цьому розділі підприємства за-дані витратні норми двох видів сировини і палива на виробництво одиниці продукції кожного цеха, трудомісткість в людино-годинах на одиницю продукції, вартість одиниці відповідної сировини та вартість однієї робочої людино-години.

Таблиця 6

 

Показники     Норми витрат цехів  Вартість

 

            1          2          3         

 

Сировина a)  1,4       2,4       0,8       5

Сировина b)  0          0,6       1,6       12

Паливо           2          1,8       2,2       2

Трудомісткість           10        20        20        1,2

Треба знайти:

1)         сумарні витрати сировини, палива та трудових ресурсів для виконання програми виробництва;

2)         коефіцієнти прямих витрат сировини, палива та праці на оди-ницю продукції кожного цеха;

3)         повні витрати сировини, палива та праці кожним цехом та підприємством;

4)         внутрішньовиробничі витрати цехів;

5)         внутрішньовиробничі витрати на кожну одиницю товарної про-дукції.

^ Розв’язання. Таблиця 6 дозволяє скласти матрицю D норм витрат сировини, палива та праці розміру 4x3:

(14       24        0,8^

D

0          0,6       1,6

2          1,8       2,2

10        20        Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

та матрицю рядок V вартості сировини, палива, робочих людино-го-дин: V = (5; 12; 2; 1,2).

1. Сумарні витрати сировини, палиш, трудових ресурсів для ви-конання програми підприємства одержимо шляхом множення мат-риці норм витрат D на матрицю X валового випуску продукції:

DxX

 

(1,4      2,4       0,8^

0          0,6       1,6

2          1,8       2,2

110      20        20 ]

Ґ238^ 186 400

ҐІ.4-238

0-238

2-238

10-238

+2,4-186 +0,6-186 +1,8-186 +20-186

 

752 1692 1412

+0,8-400^ Ґ110(Г\

+1,6-400 +2,2-400 +20-Отже, для виконання програми підприємства треба витратити: сировини а) – 1100 одиниць; сировини b) – 752 одиниці; палива – 1692 одиниці; робочих людино-годин – 1412.

2. Коефіцієнти прямих витрат сировини, палива та праці на оди-ницю продукції кожного цеха знаходимо шляхом множення матриці норм витрат D на матрицю коефіцієнтів повних витрат В–1:

M = D-B~

 

[14 2,4 08^

0 0,6    1,6

2 1,8    2,2

10 20   20 )

 

(1,04    0,21     0,03^

0,21     1,05     0,13

0,03     0,13     1,27

 

(1,98    2,94     1,37

0,17     0,84     2,11

2,52     2,61     3,09

[і5,2     24,8     28,3

Елементи k-го стовпця одержаної матриці М вказують кількість витрат сировини а), сировини b), палива та робочих людино-годин необхідну для виготовлення одиниці продукції k-го цеха.

3. Витрати сировини, палива та праці кожним з цехів одержимо шляхом множення витратної норми кожного цеху на його валовий випуск продукції:

 

(ил                  '333^               (2,4>               '449^               (0,8>               '320л

0 2       •238 = 0 476   ;           0,6 1,8 •186 = 112 337           ;           1,6 2,2 •400 = 640 880

[ю,                  ч2380у                        120,                 43720y                        120,                 ч8000у

Отже, матриця повних витрат сировини, палива та праці усього підприємства буде мати вигляд:

Частина 5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

П

 

( 333 449

0 112

476 337

320 ^

640

2380 3720 8000

4. Виробничі витрати цехів одержимо шляхом множення, матриці-рядка вартостей V на матрицю повних витрат

{ 333   449      320 ^

(5; 12; 2; 1,2)

= (5473; 8751; 20640.

0          112      640

476      337      880

2380    3720    8000

Отже, вартість витрат першого цеху 5473, другого - 8 751, третьо-го - 20640.

5. Внутрішньовиробничі витрати на одиницю товарної продукції цехів знаходять множенням рядка вартостей V на матрицю М пря-мих витрат:

(5; 12; 2; 1,2)

fl,98     2,94     1,37^

0,17     0,84     2,11

2,52     2,61     3,09

15,2     24,8     28,3

(35,2; 59,6; 72,3).

^ Зауваження. У випадку більшої кількості видів сировини та наявності інших видів витрат задача розв’язується таким же чи-

ном.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»


загрузка...