5.3.2. Метод Гаусса-Жордана з використанням розрахункових таблиць


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

В економічних дослідженнях дуже часто необхідно розв’язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь з багатьма невідомими і ме-тод Гаусса для них не дуже зручний тому, що після приведення мат-риці системи до трикутного вигляду треба ще провести певну кількість розрахунків, щоб одержати усі невідомі.

Метод Гаусса буде досконалішим, якщо при елементарних пере-твореннях можна одержати рівними нулю не тільки елементи, що лежать нижче головної діагоналі, а й ті елементи, що лежать вище головної діагоналі. Саме цього вдається добитися методом Гаусса-Жордана, який треба обов’язково зрозуміти і оволодіти розробленою економістами технікою його застосування з використанням розрахун-кових таблиць.

Перетворення Гаусса-Жордана дозволяють розв’язувати довільні системи лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходити ранг матриці, обер-нену матрицю.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

При розв’язуванні довільних систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса-Жордана треба послідовно зробити декілька кроків перетворення Гаусса-Жордана з певним правилом переходу від однієї таблиці до іншої.

Кроком перетворення Гаусса-Жордана називають елементарні перетворення (множення рівнянь на число, алгебраїчна сума різних рівнянь), за допомогою яких задана система зводиться до еквівалент-ної системи.

Алгоритм кроку перетворення Гаусса-Жордана

1.         Обираемо розв’язувальний елемент а{- Ф 0 .

2.         Елементи і-го рядка (його називають розв’язувальним) ділимо на а- і запишемо в і рядок розрахунковог таблиці.

3.         В розв’язувальному j стовпці замість а~ пишуть одиницю, a

замість інших елементів цього стовпця пишуть нулі.

4.         Усі інші елементи розрахунковог таблиці, в тому числі і конт-

рольного стовпця, знаходять за формулою

аіі ' аи ~ ац ' аа

/7 =     

aij        (1)

k = 1,2,...,m; / = 1,2,...,w; ІгФі, ]ФІ.

Обчислення елементів аш за формулою (1) доцільно виконувати з використанням схеми прямокутника

аіі°*-*^           ^**-° a ij

 

аи°^    ^Ч) йц

5. Роблять перевірку правильності розрахунків шляхом порівнян-ня суми елементів рядка з відповідним елементом контрольного стовпця.

Частина 5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

■ Приклад 3. Виконати крок перетворень Гаусса-Жордана з ви-користанням розрахункової таблиці для системи

-2x1 +3x2 +4x3 = -8

^> Розв’язання. Запишемо задану систему у вигляді розрахунко-вої таблиці 1.

Елементи останнього контрольного стовпця повинні дорівнюва-ти сумі елементів відповідного рядка таблиці.

За алгоритмом кроку перетворень Гаусса-Жордана зробимо пе-рехід до розрахункової таблиці 2:

1)         обираємо розв’язувальний елемент а13 = 2;

2)         елементи першого рядка таблиці (розв’язувального) ділимо на 2 і запишемо у перший рядок таблиці 2.

3)         у третьому (розв’язувальному) стовпці a13 = 1, а інші елемен-ти дорівнюють нулю;

 

            Таблиця         1                                             Таблиця 2     

x1        х2        х3        Ьi         k                      x1        х2 х3   Ьi         k

4          -5        \2\        -12      -11     

            2          -5/2     1          -6        -11/2

3          2          -2        13        16       

            7          -3        0          1          5

-2        3          4          -8        -3       

            -10      13        0          16        19

4) решту елементів таблиці 2 обчислюємо за формулою (1) з ви-користанням схеми прямокутника:

_ 3-2-4-(-2) 6 + 8

a 21 =  =         = 7;

(-2).2-4-4=4-16 =

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

= 2-2-(-2)-(-5) = 4-10 =

22        rj          rj          '

Аналогічно знаходимо:

fl24=l; a25=5; a32=13; a34=16; a35 = 19.

5) перевіримо правильність розрахунків

2 - 5/2 + 1 - 6 = -11/2; -11/2 = -11/2;

7 - 3 + 1 = 5;   5 = 5;

-10 + 13 + 16 = 19;    19 = 19.

Рекомендації для скорочення розрахунків

1.         Розв’язувальним елементом доцільно обирати одиницю, тоді

формули (1) спрощуються.

2.         Якщо у розв’язувальному стовпці розрахункової таблиці є нуль, то відповідний рядок з цієї таблиці переписують без змін.

3.         Якщо в розв’язувальному рядку розрахункової таблиці є нуль, то відповідний стовпець переписуємо без змін.

Наприклад, в і розв’язувальному рядку а., = 0, тоді l-й стовпець таблиці переписуємо без змін.

4.         Якщо в таблиці є два пропорційних рядки, то один з них мож-

на викреслити.

Наступні кроки перетворень Гаусса-Жордана виконуються таким же чином, при цьому кожного разу розв’язувальний елемент треба обирати з інших рядків та стовпців.

Після послідовного виконання максимально можливого числа кроків перетворення Гаусса-Жордана, наприклад г, одержимо систе-му, яка може бути записана у вигляді таблиці 3.

Таблиця 3

 

%і        х2        …        xk        …        хг         Хг+і     …        хп        ЬІ        k

1          0          …        0          …        0          U \г+1 …        Ьі„       СІ        ki

0          1          …        0          …        0          "2г+1   …        ь2п      с2        k2

0          0          …        0          …        0          …        …        …        …        …

0          0          …        1          …        0          …        …        …        …        …

0          0          …        0          …        1          UJJ+I   …        Ьт        сг         kr

Частина 5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Система, що записана у таблиці 3, зветься системою у базисно-му вигляді.

Можливі такі випадки:

1)         г = п, тоді система має єдиний розв’язок х, = с,, k = 1, 2,..., п.

 £         £

2)         г < т < п, тоді система має множину розв’язків.

Загальний розв’язок системи буде

 

 1пХп

о1г+1 • хг+1

С2       ®2г+1'Хг+1    ••■ ®2пХп

(2)

 

х

"гг+1 ' Хг+1

-...-Ьх

Невідомі x1, х2...., х, відносно яких система розв’язана, називають базисними, а невідомі х 1, х х , називають вільними або неба-

 r +      г +2 … И

зисними.

Якщо у загальному розв’язку (2) усі вільні невідомі прирівняти нулю, то одержимо базисний розв’язок системи:

х = с, х = с... х = с, х = 0,.... х = 0.

1          1 2       2,., r     г г+1    7 и

Якщо одну вільну невідому прирівняти одиниці, а інші нулю, тоді одержимо фундаментальний розв’язок.

Невід'емний базисний розв’язок системи називають опорним роз-в’язком цієї системи.

3) При перетворенні системи одержали рівняння, усі коефіцієн-ти якого дорівнюють нулю, а права частина с. не дорівнює нулю. В цьому випадку система несумісна.

■ Приклад 4. Розв’язати методом Гаусса-Жордана систему

 

3*А/    і 2*А/  і *А/    і *А/    3*А/

 

+2x +2х +6х

~X

= 7 = -2 = 23. = Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

^> Розв’язання. Розв’язання будемо проводити з використанням розрахункової таблиці 4 та формул (1).

Таблиця 4

 

x1        х2        х3        х4        х5        СІ        k

1          1          1          1          1          7          12

3          2          1          1          -3        -2        2

0          1          2          2          6          23        34

5          4          3          3          -1        12        26

1          1          1          1          1          7          12

0          -1        -2        -2        -6        -23      -34

0          1          2          2          6          23        34

0          -1        -2        -2        -6        -23      -34

1          0          -1        -1        -5        -16      -22

0          0          0          0          0          0          0

0          1          2          2          6          23        34

0          0          0          0          0          0          0

Отже, задана система сумісна і має множину розв’язків. Базисні х та х, вільні невідомі х, х та х.

н евідом і

1          2          3 4       5

Загальним розв’язком заданої системи буде

«Л1 — 16-l-.X3-l-.X4-l-5,X5

2^t       6^t

ЛУ 2 — 232 ^Л/3

Базисним розв’язком системи буде

Хь =

0 0

124

Фундаментальних розв’язків три:

Частина 5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

E1 =

М5Ї

21

1

0

0

E2 =

21 0 1 0

£3 =

f-11) 17 0 При базисних невідомих х1 та х2 базисний розв’язок Xb не є опор-ним (перша компонента від’ємна).

Але при розв’язуванні системи можна взяти інші розв’язуванні елементи і одержати базисними інші невідомі, наприклад, х2 та х3. При цих базисних невідомих базисний розв’язок можливо буде опорним.