5.3. Методи Гаусса та Гаусса-Жордана


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Система лінійних алгебраїчних рівнянь має нескінченну кількість розв’язків у таких випадках:

1.         Коли однорідна система має п рівнянь з п невідомими і її ос-

новний визначник А(А) дорівнює нулю.

2.         Коли кількість рівнянь неоднорідної системи не дорівнює кількості невідомих, а система рівнянь є сумісною.

3.         Коли кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих та дорів-

нює п, система рівнянь сумісна г(А) = r( A ) = г але г < п.

Видатний німецький математик, астроном, фізик і геодезист Карл Фрідріх Гаусс (30.04.1777-23.02.1855) розробив метод розв’язування таких систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Суть метода Гаусса полягає в тому, що шляхом елементарних перетворень систему тре-ба привести до трикутного вигляду, коли усі елементи головної діа-гоналі основної матриці системи дорівнюють 1, а елементи основної матриці, що знаходяться нижче її головної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий вигляд системи дозволяє знайти усі невідомі. Метод Гаусса можна застосовувати і до систем лінійних алгебраїчних рівнянь, що мають єдиний розв’язок.

Щоб краще зрозуміти суть метода Гаусса, розглянемо декілька прикладів.

■ Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь

2х -4y +3z =1

<          х -2у +4z = 3.

3х -у +5z =2

^> Розв’язання. Спочатку поміняємо місцями перше та друге рівняння, щоб елемент а11 основної матриці дорівнював 1. Одержимо:

х -2у +4z =3

<          2х -4y +3z = 1.

3х -у +5z =2

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Тепер перше рівняння помножимо на (–2) і додамо до другого (щоб одержати а21= 0), а потім помножимо перше рівняння на (–3) і додамо до третього рівняння (щоб одержати а31 = 0). Тоді будемо мати систему

x -2y +4z = 3 -5z =-5.

5y -7z = -7

Тепер друге рівняння поділимо на (–5), третє рівняння поділимо на 5 і поміняємо їх місцями. Одержимо систему трикутного вигляду:

x

 

2y        +4z      = 3       x =       3          -4-1 +2-0        x = -1

            7          7                      7          7                     

У         ~5        5 ^       y =       -•1 5    5          ^          y =

            z          = 1       z =       1                                 z = 1

Отже, система має єдиний розв’язок (-1, 0, 1).

^ Зауваження. Елементарні перетворення доцільно виконувати не з усіею системою, а з п розширеною матрицею. Розв’язання при-кладу 1 у такий спосіб вшлядає так:

-2 -4 -1

1

—>

-2

1 —

—>

—>

 

2 -4 3 1 -2 4 3-15

 

1          -2        4          3 ^                  

0          5          -7        -7        —>      0

0          0          -5        Л                     0

 

1 -2

0 0

0 5

3^

7 5 1

4 -5

-7

 

—>

3 -5

-Частина 5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

■ Приклад 2. Розв’язати систему рівнянь

 

2xі       +x2      x3        x|         =

Аx,                  +x3      —оx^  = 3.

            zx2       -оx3     +xА     = 1

^> Розв’язання. Задана система 3-х рівнянь з 4-ма невідомими. Ви-конаємо елементарні перетворення з розширеною матрицею.

 

1          -1        -1        2^        f

-2        3          -1        -1        ->

2          -3        1          1          V

1          -1        -1        2

-2        3          -1        -1

0          0          0          0

 

21        -1        -1        2^        ґ

40        1          -3        3          ->

02        -3        1          1

)           V

Звідси випливає, що основна та розширена матриці мають рівні ранги: r(А) =r(A\ = 2. Знайдемо мінор другого порядку, який не дорівнює нулю. Наприклад:

 

21 0 -2 Мінор, який не дорівнює нулю, та має порядок, рівний рангу

r = r(А) = r(A), називають базисним мінором, тому обраний нами мінор - базисний.

Невідомі хt та х2, для яких елементи базисного мінора є кое-фіцієнтами, називають базисними невідомими. Інші невідомі систе-ми х3 та хА - вільні. Останній вигляд розширеної матриці відповідає такій системі

 

2x

 

^x        і *Jx

x

x

= -1

<->

£*xл    і x

2          x 3

+x

x

 

Вільні невідомі перенесли у праву частину системи. Ми одержа-ли базисні змінні х1 та х2 як функції х3 та х4:

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

 

2 3 2 4

+2 -х2

1

+-

 

+-хА

_1

2Х А

+

+

4 Вільним невідомим х3 та х4 можна надавати будь-які значення: х3 = С1, х4 = С2, де С1 та С2 – довільні сталі. Отже, одержуємо нескінчен-ну кількість розв’язків системи вигляду:

—- + —- + -

 

X

 

\.xij

3Q_Q + 1 2 2 2