5.2.1. Матричний метод


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Якщо позначити

 

1n

 х

(ЬЛ

 

A

й21 й22

Vfl«1 й"2

a

2/7

пп J

X

 

\XnJ

, в

 

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

то згідно з правилом множення матриць та умовою рівності матриць одержимо запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь

$21A """^22-^2 "■""• "™2n"^n — "2

 

(4)

an1X1 +an2X2 + • • • "^шг-^и — &П

у матричній формі:

AX = B.          (6)

Якщо матриця A квадратна порядку n і її визначник A (A) не дорівнює нулю, тоді існує обернена до А матриця А'1, тому можна рівність (6) помножити на А–1 зліва. Одержимо

А–1АХ = А–1В.         (7)

За означенням оберненої матриці маємо:

А–1А = Е,

тому (7) прийме вигляд:

ЕХ = А–1В.

Але множення матриці-стовпця X на матрицю Е не змінює X, тобто ЕХ = X. Таким чином, одержуємо формулу:

X = А~1В.      (8)

за якою і знаходять розв’язок системи (4) матричним методом.

Отже, матричний метод можна застосовувати у випадку, коли квадратна матриця А має не рівний нулю визначник.

Для розв’язування неоднорідної системи п лінійних алгебраїчних рівнянь з п невідомими матричним методом доцільно здійснювати такий порядок дій:

1.         Записати основну матрицю системи А і знайти її визначник

А(Л). Якщо А(А) = 0, то система розв’язку не має.

2.         Якщо А (А) ф 0, тоді знайти обернену матрицю А'1 до матриці А.

3.         Помножити обернену матрицю А~1 на матрицю-стовпець

вільних членів системи. Одержаний при цьому стовпець згідно з

формулою (8) і буде розв’язком системи.

Частина 5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

■ Приклад 3. Знайти розв’язок заданої системи матричним ме-тодом

 

2х3 =-1.

2■Л/1  "lb/b2   .Л- 3               2

^> Розв’язання. Основною матрицею заданої системи буде матриця

f 1 -1 A

 

1          0 -2

1 -

Визначник цієї матриці

1          -1 1

д(д)=1 0 -

2          1-1

=4+1-1+2=6.

Для запису оберненої матриці А–1 знайдемо алгебраїчні доповнен-ня елементів матриці А:

11

A1

 

0          -2

1          -1

2; Д21=-

-1 1 1 -1

0;

41 =

-1 1

0 -2

= 2;

Д2=-3; Д=-3; Д=3; Д3=1; Д=-3; Д=1.

і           22        32        I           23        33

Отже,

(2 0 2^

A =

-3 -3 3 1 -3 1

Тепер за формулою (8) знаходимо розв’язок заданої системи:

2-1      +0-(-1) +2-2^ (6) (1

-3)1 +(-3)-(-1) +3-2

2

X = Л_15

Ґ2 0 2Ї1

-3 -3 3 1 -3 1

1-1

+-3 • -1

1-2

 

6

v6/ w Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»