Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_cd2b09390426931dd1eebd6a06d8a782, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
5.2. Знаходження єдиного розв’язку : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

5.2. Знаходження єдиного розв’язку


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Згідно з теоремою Кронекера-Капеллі система лінійних алгебраїч-них рівнянь має єдиний розв’язок у випадку виконання умов (3), тобто коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розшире-ної матриці системи та кількості невідомих.

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яка має од-накову кількість рівнянь та невідомих, тобто систему вигляду

 

+аі2х2 + ...      +а\пХп           =к

+й22-^2          + ...      +а2пХп          = ь2

+ ...      + ...      + ...      =...

~^~ап2Х2      + ...      ~т~аппХп      =к

Якщо основний визначник A (А) цієї системи (визначник основ-ної матриці коефіцієнтів цієї системи) не дорівнює нулю, то ранги основної та розширеної матриць системи будуть рівними і дорівню-вати кількості невідомих п. Отже, згідно з теоремою Кронекера-Ка-пеллі така система має єдиний розв’язок.

У випадку Ь. = Ь= ... = Ь = 0 система (4) однорідна, її єдиний

розв’язок тривіальний, тобто xt= х2 = ... = хп=0.

Якщо система (4) неоднорідна, її єдиний розв’язок можна знахо-дити різними способами.

У випадку, коли кількість рівнянь та невідомих п < 3, часто ви-користовують правило Крамера або матричний метод розв’язування.

У випадку, коли п > 3 доцільно використовувати метод Гаусса (при-ведення системи до трикутного вигляду) або більш ефективний ме-тод - метод Гаусса-Жордана.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Слід зауважити, що правило Крамера та матричний метод можна застосовувати і для великих значень п, але вони потребують більше часу і багато розрахунків.

Ознайомимось з матричним методом та правилом Крамера у цьо-му розділі. Найбільш досконалий метод Гаусса-Жордана розглянемо у розділі 5.3.

Правило Крамера (швейцарський математик, 31.07.1704-

04.01.1752). Якщо основний визначник А(А) неоднорідног системи п в лінійних алгебраїчних рівнянь з п невідомими не дорівнюе нулю, то ця система мае единий розв’язок, який знаходять за формулами

xk =

А(А)

К — 1 2... /7 ,

(5)

де Ak - допоміжний визначник, який одержують з основного визначника

А(Л) шляхом - заміни його k-го стовпця стовпцем вільних членів сис-теми.

Ш Приклад 2. Розв’язати за правилом Крамера систему рівнянь

3^l-

 

= -2 = -8 . = -^> Розв ’язання. Задана неоднорідна система 3 лінійних алгебраїч-них рівнянь з трьома невідомими. Основний визначник цієї системи

Д(Л) =

1 -2 5 2-3 4 41-3

= 9-32 + 10 + 60-12-4 = 31*0.

Тому, згідно з правилом Крамера, задана система має єдиний роз-в’язок, який знайдемо за формулами (5).

Спочатку знайдемо допоміжні визначники:

Частина 5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

A1

-2 -2 5 -8 -3 4 -13 1 -3

-18 + 104-40-195 + 48 + 8 = -93,

 

1 -2 5 2-8 4 4 -13 -3

 24-32-130 + 160-12 + 52 = 62,

1 -2 -2

39 + 64-4-24-52 + 8 = 31.

A3 = 2 -3 -8 4 1 -13

Тепер за формулами (5) знаходимо:

х

А1 ~93= 3

Д(Л)

X

^2 = 62=2,

Д(Л) 31

х

-1.

Д(Л) 31

Отже, розв’язком цієї системи буде (-3; 2; 1).



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_cd2b09390426931dd1eebd6a06d8a782, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0