Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
4.4. Ранг матриці та обернена матриця : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

4.4. Ранг матриці та обернена матриця


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

магниевый скраб beletage

Нехай задана матриця А розміру т х п

A

 

a          a

12        ■■ am

a 2i      a

22        ■■ a2n

\aml      a

m2       Q-mn )

Виберемо в ній довільно k рядків та k стовпців. Елементи, що знаходяться на перетині виділених рядків та стовпців, утворюють квадратну матрицю k-то порядку, визначник якої називають міно-ром k-то порядку матриці А. Обираючи різними способами k рядків та k стовпців, одержимо деяку кількість мінорів &-го порядку. Мат-риця має мінори будь-якого порядку: від першого (елементи матриці-мінори 1-го порядку) до найменшого із чисел т та п.

Розглянемо в матриці А ті її мінори різних порядків, які відмінні від нуля і нехай їх найбільший порядок = г.

• Означення 1. Рангом матриці називають найбільший поря-док п мінорів, відміннш від нуля.

Ранг матриці позначають г(А) або гА або просто г. Ранг матриці можна знаходити методом обвідних мінорів або простіше - методом елементарних перетворень.

Ф Означення 2. Елементарними перетвореннями матриці на-

зивають такі перетворення:

1)         перестановка рядків (стовпців) матриці;

2)         множення всіх елементів рядка (стовпця) на число Л^О;

3)         додавання до елементів рядка(стовпця) відповіднш елементів іншого рядка (стовпця), помноженш на деяке число.

Всі ці перетворення не змінюють ранг матриці, але з їх допомо-гою матрицю зводять до матриці, у якої нижче головної діагоналі всі елементи нулі. Тоді ранг матриці дорівнює кількості елементів го-ловної діагоналі, відмінних від нуля.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

■ Приклад 1. Знайти ранг матриць:

a) A

c) A

 

Ґ1        2 З^                

Із         6 9У               

Ґ1        -1 3     5

2          1 -1     4

2          -2        г*        3

b) A

d) A

 

1          -1        О^      

2          0          1          ;

1          1          1;        

1          2          -1        3

3          6          -3        -1

3          6          -3        10

^> Розв ’язання. Ранг матриць будемо знаходити методом елемен-тарних перетворень.

а) Елементи першого рядка матриці помножимо на (-3) і додамо до відповідних елементів другого рядка матриці А:

(\ 2 3^ (\ 2 З^

A

0 00

J

36 9

Звідси випливає, що ранг цієї матриці дорівнює 1 (нижче голов-ної діагоналі - нуль та один елемент головної діагоналі Ф 0).

Ь) Зробимо такі перетворення, щоб нижче головної діагоналі були нулі:

A

п

2 1

-1 0*] 0 1

1 1,

-2M-1)

<н>

Гі -1 0^

(-1)

<н>

ґі -і

0 2 0 0

0*]

1

Звідси випливає, що r(А) = 2.

с) Знову робимо такі перетворення, щоб нижче головної діаго-налі були нулі:

A

 

1          -1        3 5^     х(-2),   -2)       ґі          -1        3          5

2          1          -1 4                 <-»      0          3          -7        -6

2          -2        6 3                              0          0          0          7

Частина 4. Матриці та визначники

Оскільки можна третій та четвертий стовпці поміняти місцями і отримати третій елемент головної діагоналі, який Ф 0, то г(А) = 3. d) Перетворимо матрицю аналогічно попередньому

 

<н>

хЮн

A

<Н>

уНМ-з)

12-1    3

3 6-3   -1

3 6-3

V         10

1 2 -1  3

00 0     1

00 0     -10

2 0 0

2 0 0

0 0

-1

0 0

3

<Н>

 

-10 1

)

 

<Н>

3

1

0

0 Звідси вишшває, що г(А) = 2.

• Означення 3. Матриця А~{ називаеться оберненою матри-

цею до матриці А, якщо виконуються рівності

АА~1= А~УА = Е,    (1)

тобто матриці A ma А^1 комутують і їх добуток е одинична матриця.

He всяка матриця має обернену. В алгебрі матриць доведено, що матриця А має обернену матрицю А~г при виконанні двох умов:

1)         матриця А квадратна;

2)         визначник \А\ матриці А не дорівнює нулю.

Обернену матрицю А~г до матриці А можна знаходити двома спо-собами:

1) за формулою

A

-і

1 A

A

11

A

11

A

21

A

11

A

n1

п2

A

(2)

 

A

21

A1n A

пп J

де Аij – алгебраїчні доповнення елементів аij матриці А, (алгебраїчні доповнення до і-го рядка розташовані у і-му стовпці (і = 1, 2, …, n).

2) а також з використанням означення оберненої матриці та еле-ментарних перетворень матриць.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

■ Приклад 2. Знайти обернену матрицю до матриці

(1 2 -3\

A

3 2-4 2-^> Розв’язання. Спочатку впевнимося, що матриця А має оберне-ну А–1.

Матриця А має три рядки та три стовпця, тому вона квадратна порядку 3. Її визначник

A

12-3 3 2-4 2-

= 1-2-5 + 2-(-4)-2 + 3-(-1)-(-3)-2-2-(-3)-3-2-5-5-(-1)(-4)-1 =

= 10-16 + 9 + 12-30-4 = -19*0.

Отже, матриця А має обернену А–1, яку знайдемо за формулою (2). У даному випадку алгебраїчними доповненнями до елементів матриці А будуть:

-7; A22

A

32

 6;

2 -4 -1 5

A21=-

2 -3 -1 5

A

-2;

31

2 -3 2 -4

Таким чином, одержали

3 -4 25

1 -3 25

1 -3 3 -4

 

A

23

= -23; A 13 11;

= -5; A 33

32 2 -1

12 2 -1

12 32

-7;

 5;

-4.

 

A

-1

-1

19

Г 6 -7 -2^ -23 11 -Частина 4. Матриці та визначники

■ Приклад 3. Знайти обернену матрицю до матриці

(1 2 3]

A

25 7 3 7 ^> Розв ’язання. Задана матриця А квадратна порядку 3, її визнач-

ник:

12 3

\A\ = 2 5 7 3 7 10

1-5-10 + 2-7-3 + 2-7-3-3-3-5-2-2-10-7-7-1 = 0.

Отже, ця матриця оберненої не має.

^ Зауваження. Якщо матриця А квадратна другого порядку

A

\a21 a22j

, визначник якої |А|^0, то обернену до неї матрицю

А–1 можна знайти за формулою

A

 

A

-1

 

22

1 I a

V a21

a

12

11 J

(3)

тобто треба елементи головної діагоналі матриці А поміняти місцями, елементи неголовної діагоналі помножити на (–1) і одержану матрицю

помножити на

1 A

 

■ Приклад 4. Знайти обернену матрицю до матриці

(2 1Л

^> Розв’язання. Задана квадратна матриця другого порядку, її виз-начник

21 46

2-6-4-1 = 12-4 = 8*0.

 

том у для зн аходж ен н я

А–1 можна застосувати формулу (3).

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Одержимо:

A

-1

 

8

Ґ6 -ї] ■ Приклад 5. (Модель міжгалузевого планування потреб та пропозицій). Таблицею задані показники взаємних потреб та пропо-зицій між різними галузями промисловості.

 

Галузеві пропозиції   Галузеві потреби       Потреби

інших

галузей           Кількість

усіх пропозицій

 

            1          2          3         

           

 

1          20        48        18        14        100

2          30        12        54        24        120

3          30        36        36        72        180

Витрати праці           20        24        72                   

a)         Визначити матрицю потреб-пропозицій А.

b)         Припустимо, що через три роки потреби інших галузей зрос-туть до 24, 33 та 75 показників для галузей 1, 2, 3, відповідно. Скільки продукції повинна виробити кожна галузь, щоб задовольнити ці по-треби?

^ Розв’язання.

а) Елементи шуканої матриці А дорівнюють відношенню потреб і-тої галузі до загальної кількості пропозицій цієї галузі. Тому для знаходження елементів і-го стовпця (і = 1, 2, 3) матриці А треба поділити потреби і-тої галузі, вказані у таблиці, на загальну кількість пропозицій цієї галузі.

Таким чином, ми одержуємо матрицю потреб-пропозицій вигляду

A

f 20 48 18 "1 100 120 180 30 12 54

100 120 180 30 36 36 100 120 180

J

f0,2 0,4 0,1 ^ 0,3 0,1 0,3 0,3 0,3 0,Частина 4. Матриці та визначники

b) Нехай Е-одинична матриця третього порядку. Позначимо:

(2АЛ

D

33

v75y

– матриця-стовпець нових потреб,

 

X бам:

матриця нових пропозицій, що відповідають новим потре-

 

(\ 0 О^ Ґ0,2 0,4

0 1 0 0 0 1

0,3 0,1 0,3 0,3 0,3 0,2

B=E-A=

0,Я Г 0,8 -0,4 -0,3 0,9 -0,3 -0,3

V

-0,Я -0,3 0,Тоді

X = B -D.        (4)

Для обчислення майбутніх пропозицій залишилось знайти В_1. Матриця В квадратна третього порядку, її визначник

\B\

0,8 -0,4 -0,1 -0,3 0,9 -0,3 -0,3 -0,3 0,8

= 0,336.

Для знаходження матриці В–1, яка існує, знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці В: В11 = 0,63; В12 = 0,33; В13 = 0,36; В21 = 0,35; В22 = 0,61; В23 = 0,36; В31 = 0,21; В32 = 0,27; В33 = 0,6.

Отже, обернена матриця В–1 має вигляд

1

B

 

0,336

Г0,63 0,35 0,2 Гі 0,33 0,61 0,27 0,36 0,36 0,6

Шдставимо D та знайдену В l у формулу (4), одержуємо Г0,63 0,35 0,2lY24^ Г126,25^

143,75 195

1

33

v75y

X =

0,336

0,33 0,61 0,27 0,36 0,36 0,Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Таким чином, через три роки першій галузі треба виробити 126,25 одиниць продукції, другій галузі потрібно виробити 143,75 одиниць продукції, а третій галузі треба виробити 195 одиниць продукції .