4.3. Визначники


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Визначником n-го порядку квадратної числової матриці А по-рядку п називають число, яке знаходять з елементів матриці А за

певним правилом і позначають \А\ або A (А).

Правило знаходження визначника 2 порядку. Визначник дру-гого порядку дорівнює різниці добутків елементів головної та допо-міжної діагоналей, тобто

a A      a П

a 21 a2

aП -a22 a21 'a12 •

(1)

Схему цієї формули можна зобразити таким чином

 

aп -a22 a21 -a12

 

Знак (+) вказує, що добуток елементів головної діагоналі треба брати зі своїм знаком, знак (–) означає, що добуток елементів него-ловної діагоналі треба брати з протилежним знаком.

■ Приклад 1. Обчислити визначники:

a)

2 -3

45

Ь)

32 04

с)

25 ^ Розв’язання. Будемо обчислювати задані визначники за фор-мулою (1):

 

            2          -3

a)                    

            4          5

            3          2

Ь)                   

            U         4

2-5-(-3)-4 = 10 + 12 = 22;

= 3-4-0-2 = 12:

Частина 4. Матриці та визначники

c)

25 68

2-8-5-6 = 16-30 = -14.

Правило знаходження визначника 3-го порядку. Визначник третього порядку знаходять за формулою

 

a

11        a

12        a

13

a

21        a

22        a

23

a

31        a

32        a

33

 an • a22 ' a33 """ a12 ' a23 ' a31 """ a21 ' a32 ' a13

(2)

a13 ' a22 ' a31 a12 ' a21 ' a33 a32 ' a23 ' a11 •

Кожен доданок у правій частині (2) має 3 множники з різних рядків та стовпців. Три перших доданка із знаком (+) є добутками елементів головної діагоналі і елементів вершин трикутників з осно-вами паралельними головній діагоналі (дивись схему а) малюнка 1). Три останні доданки у правій частині (2) мають від’ємний знак. Вони є добутками елементів неголовної діагоналі та елементів вершин три-кутників із основами паралельними неголовній діагоналі (мал. 1, b).

(+)

(-)

 

а)

m

b)

Мал. 1.

Ця схема обчислення визначника третього порядку називається правилом Саріуса. Існують також інші схеми обчислення визнач-ника 3-го порядку.

I Приклад 2. Обчислити визначник A =

2-3 0

1 4 3

-5 6 Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

^> Розв’язання. Згідно з формулою (2) одержимо

2-3 0

14 3 -5 6 0

= 2-4-0 + (-3)-3-(-5) + 1-6-0-(-5)-4-0-1-(-3)-0-

-3-6-2 = 0 + 45 + 0-0-0-36 = 9.

Для обчислення визначників порядку п > 3 використовують ал-гебраїчні доповнення та вказане нижче правило.

• Означення 1. Мінором М елемента а визначника n-го по-рядку називаеться визначник (п - 1) порядку, який одержуемо з виз-начника \А\ шляхом викреслювання і-го рядка maj-го стовпця, на пе-ретині яких знаходиться елемент а...

У

Ф Означення 2. Алгебраїчним доповненням Аij елемента аi визначника називають мінор цього елемента, взятий зі знаком (-і)і+], тобто

А..=(-1Ґ3М..

V \ I     V

(3)

та а33 визначника

I Приклад 3. Знайти алгебраїчні доповнення до елементів Й„„

2 3-1 14 2. -314

^ Розв ’язання. Алгебраїчні доповнення до елементів а21 та а33 по-значимо Л„. та Ат, відповідно. Згідно з означенням 2

(4)

А21 = (–1)2+1М21 = –М21; А33 = (–1)3+3М33 = М33. Мінори М21 та М33 знайдемо згідно з означенням 1:

м

21 jf

1

0          © ®

2          3-1

1          4 2

-3        14

3 -1 14

3-4-(-і)-1 = 12 + 1 = Частина 4. Матриці та визначники

©

м33 = ©

©

ф          © ©

2          3 ■

1          4 2

-3        14

23 14

= 2-4-1-3 = 8-3 = Шдставимо ці значення мінорів у відповідні рівності (4), одер-жимо шукані алгебраїчні доповнення

А0. =-13; А, =5.

Тепер можемо сформулювати правило обчислення визначника п-го порядку.

Правило. Визначник п-го порядку дорівнюе сумі добутків усіх еле-ментів будь-якого стовпця (або рядка) на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

У випадку використання г'-го рядка це правило математично мож-на записати так

(JLA    ІЛ>

... a

ІА"       ІЛ"       ■ a •    ІА"       ■ a •    ІА"

 

A

 

агіЛі + агЛі +--- + алАл+... + атАт. (5)

 

Рівність (5) називають розкладом визначника за елементами

і-гo рядка. Визначник можна розкласти і за елементами &-го стовпця (k = 1, 2, ..., п).

Отже, обчислення визначника п-го порядку зводиться до обчис-лення визначників (п - 1) порядку шляхом розкладу визначника за елементами будь-якого рядка або стовпця.

^ Зауваження. Для скорочення обчислень визначника доцільно його розкласти за елементами такого рядка чи стовпця, який містить найбшьшу кількість нулів. У такому випадку не треба знаходити

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

алгебраїчні доповнення до елементів, що дорівнюють 0 (добуток 0 на будь-яке алгебраїчне доповнення дорівнює нулеві).

Таким чином, для ефективного використання методу обчислен-ня визначника шляхом його розкладу за елементами будь-якого ряд-ка або стовпця треба навчитись робити еквівалентні перетворення визначника, які дають можливість одержати нулі у деякому рядку або стовпці.

Виконання таких перетворень здійснюється з використанням деяких властивостей визначника.

Властивості визначників

1. Визначник при транспонуванні не змінюється.

Пояснення дамо на прикладі визначників другого порядку. Не-

хай

Д(A)

3

4 5

15 + 8 = 23, Л(AT)

3 -2

45

15 + 8 = 23.

Праві частини рівні, тому і ліві також рівні, тобто A (А) = A (A ).

▼ Наслідок. У визначнику рядки та стовпці мають однакові вла-стивості.

2. Якщо у визначнику поміняти місцями будь-які два рядки (стовпці), то визначник змінить знак на протилежний. Наприклад

 

34        = 23;    -2 5

-2 5                 34

-8-15 = -23,

тому

34 -2 5

3

5 3. Якщо визначник має два однакових рядки (стовпця), то він до-рівнює нулю.

Дійсно, якщо ми поміняємо місцями рівні рядки (стовпці), то визначник не зміниться, але згідно властивості 2 він повинен зміни-ти знак на протилежний. Тому визначник повинен дорівнювати 0.

Частина 4. Матриці та визначники

Наприклад:

3 -2 3 -2

= -6 + 6 = 0.

4. Якщо у визначнику усі елементи одного рядка (стовпця) помно-жити на однакове дійсне число k, то визначник зросте також в k разів. Наприклад

A(A)

5 1

4-15 = -11,

 

A(A) =

4 &5 31

= 4Jfe-15£ = Jfe(-11).

тобто A(A1) = k(A), але |A1| одержано з визначника |A| шляхом мно-ження усіх елементів першого рядка на k.

▼        Наслідок 1. Спільний множник усіх елементів будь-якого ряд-ка (стовпця) визначника можна винести за знак визначника.

▼        Наслідок 2. Якщо усі елементи будь-якого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнюе нулю.

5.         Визначник, у якого відповідні елементи двох будь-якш рядків

(стовпців) пропорційні, дорівнюе нулю.

Доведення цієї властивості випливає з властивостей 3 та 4.

6.         Якщо у визначнику елементи і-го рядка (k-го стовпця) е сумою

двох доданків, modi він дорівнюе сумі двох відповіднш вшначників.

Наприклад,

a11+b1 a12+b2 a13+b3

a

21

22

23

a

a

33

31

32

a

 

a

11        a

12        a

13       

a

21        a

22        a

23        +

a

31        a

32        a

33       

К К ь3

Й21 d22 (і23

а31 а32 а7. Якщо до всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) визнач-ника додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця) цього виз-начника, помножені на одне й те ж саме число, то визначник не зміниться.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

■ Приклад 4. Нехай заданий визначник

32 1 12 3 24 2

Використовуючи fl13=1, одержимо два 0 в третьому стовпці. Перетворимо визначник таким чином:

1)         елементи першого рядка визначника помножимо на (-3) та додамо до відповідних елементів другого рядка визначника;

2)         елементи першого рядка визначника помножимо на (-2) та

додамо до відповідних елементів третього рядка визначника A. Отримаємо визначник, який позначимо А1:

\ =

3 2 1 -8 -4 0 -40 Перевіримо, що А1 = A. Для цього обчислимо ці визначники:

32 1

А =

1 2 3 =3-2-2 + 2-3-2 + 1-4-1 —1-2-2 —1-2-2 —4-3-3

24 2

= 12 + 12 + 4-4-4-36 = -16,

А1 =

3 2 1 -8 -4 0 -4 0 0

= 0 + 0 + 0-16-0-0 = -16.

Отже, цей приклад ілюструє:

1)         справедливість властивості 7;

2)         цю властивість доцільно застосувати до перетворення визнач-ників 4-го та вищих порядків, щоб одержати якомога більше нулів у

Частина 4. Матриці та визначники

якомусь стовпці (або рядку) і тим самим спростити обчислення за-даного визначника.

■ Приклад 5. Обчислити визначник 4-го порядку

А =

12-23 0 12-4 -32 1 5 5 1-13

ЬРозв ’язання. Перетворимо цей визначник таким чином, щоб зробити якомога більше нулів у якомусь стовпчику, краще у першо-

му, бо там вже є один нуль. Для цього елементи першого рядка по-

множимо на 3 та додамо до відповідних елементів третього рядка,

потім елементи першого рядка помножимо на (-5) та додамо до

відповідних елементів четвертого рядка. Одержимо визначник:

 

12-2    3

01 2     -4

0 8-5   14

0-9 9   -12

Тепер визначник доцільно розкласти за елементами першого стовпця:

д = 1-(-1)1+1

1

8 -9

9

-4

14

-12

= 3

 

1          2          -4

8          -5        14

-3        3          -4

Тут ми використали наслідок 1 властивості 4 і спростили виз-начник. Обчислимо його:

А= 3(20 - 96 - 84 + 60 - 42 + 64) = 3(-78) = -234.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»