4.2. Найпростіші дії з матрицями


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Найпростішими діями з матрицями називають множення мат-риці на число, їх додавання та віднімання, множення матриць.

Добутком матриці А на число k називається матриця, елемен-ти якої дорівнюють добуткам елементів матриці А та числа h

КІЛ11 КІЛ12 КІЛ

 

kA

 

І\\А/21 /Vl/С'22

ka

23

ka

2n

(1)

 

\kam1

 

m2

/vw      f\U

m3

ka

mn

Додавати та віднімати можна лише матриці однакового розміру. Алгебраїчною сумою матриць A ma В однакового розміру

тхп називається матриця С розміру тхп, елементи якої С-- дорів-

нюють відповідній алгебраїчній сумі елементів аГ та ЬГ матриць A та В, тобто

А±В = С

L4/11 — L/11

a21±b21

«12 ± k2

«22 — "22

a1n±b1n a2n±K

(2)

 

m2

mn

ат1±Ьт1 ат2±Ь,

«L ± k

 

Наприклад, якщо

A

Ґ50 30 40Л 18 16 12

, B

f20 18 20^ 14 15

тоді

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

A + B

Г50 + 20 30 + 18 40 + 20^ Ґ70 48 6(Л

32 31 22

18 + 14 16 + 15 12 + Розглянемо ще один приклад. Якщо матриця Рвідповідає вироб-ничим параметрам за перший квартал року, а матриця Q, побудова-на по даним тих же параметрів за другий квартал року, тоді F + Q буде характеризувати ці параметри за перший та другий квартали, тобто за півроку.

Для знаходження добутку АВ матриць А та В необхідно, щоб кількість стовпців матриці А (першого множника) дорівнювала кількості рядків матриці В (другого множника). Добутком АВ мат-риці А розміру т X п і матриці В розміром п X р називається матри-ця С розміром тхр, елементи якої с. дорівнюють сумі добутків елементів г'-го рядка матриці А на відповідні елементи j-то стовпця матриці В, тобто кожен елемент матриці С знаходять за формулою

ч

 апьи + <*i2b2j + ai3b3j +... + аіпЬщ .

(3)

^ Зауваження. Добуток матриць взагалі не мае властивості ко-мутативності, тобто АВ Ф ВА. Якщо добуток двох матриць мае вла-стивість АВ = ВА, modi кажуть, що матриці комутують.

Ш Приклад 2. Знайти добуток матриць

A

 

ап        a

12        аі3                               ( X }

а2і       a

22        а23      та        Х =      х2

Чй31   a

32        a33j                             \хз)

^> Розвязання. У матриці А три стовпця, у матриці X три рядки, тому ці матриці можна множити. Добутком цих матриць буде мат-риця-стовпець

 

a

Й12 Й13

 X

 

АХ =

21 V^31

22

32

23

33 )

 

V^3 J

^С131Х1 + 0-32Х2 "*" ^ЗЗ-^З

(4)

Частина 4. Матриці та визначники

 

■ Приклад 3. Нехай 

(1         2 3) (-2            1 2^

A         — 4     56        lj —     3          2 1       ,

            v2        1 4У                1          3 2;     

знайти АВ та ВА.                

^> Розв’язання.                    

(1 2 3   -2 1     2^ (1(-2) + 2-3 + 3-1  1+4+9 2+2+6

АВ =   45 6     3 2       1          =          4(-2) + 5-3 + 6-1        4 + 10 + 18 8 5 12     

            2 1 4    1 3       2,         V         2(-2) + 1-3 + 4-1        2 + 2 + 12 4 + 1 + 8  

ґ7 14 10)                    

=          13 32 25 , v3 16 13,                          

(-2 1 2 Y1 2    3^ f-2 + 4 + 4 -4 + 5   + 2 -6 6 + 8^

ВА =   3 2 1    4 5       6          =          3+8+2 6+10    +1 9+124       

            I1 3 2   2 1       4          /           v1 + 12 + 4 2 + 15      + 2 3 + 18 + 8y          

f 6 3 8)           

=          13 17 25 . v17 19 29у                       

            О         тже, АВ Ф      ВА.                                                                                       

^ Зауваження. Ділення матриць — розглядають як добуток АВ 1,

В

де В1 - матриця, обернена до матриці В, визначення та знаходжен-ня яког розглянемо пізніше, після введення нових понять.

■ Приклад 4. (З теорії графів). Графом називають певну кількість точок (його вершин), деякі з них з’єднані лініями (ребра-ми). На малюнку 1 задані два графи з 4 та 5 вершинами.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

 

1 9       9v2

5 *

 

а)

b)

Мал. 1.

Занумеруємо вершини цифрами 1, 2, 3, ... та визначимо матрицю А з елементами aij таким чином:

a

ij

 

[1, якщо вершини і ma j зеднані ребром; 10, якщо вершини і ma j не з'еднані ребром.

Треба побудувати матриці А та А2 для випадків а) та Ь), зображе-них на малюнку 1. Показати, що елемент з індексами ij матриці А2 визначає кількість шляхів довжини 2 (двох послідовно пройдених ребер) з вершини і у вершину7 графа.

^> Розв’язання.

У випадку а) згідно з визначенням елементів а~ одержуємо мат-рицю

A

(0 1 0 (Л 10 11 0101 01 1 0

Матриця А2 буде мати вигляд

0

1

0

1

0 3

1 1

1 1

2

1

о^

1

1

0

Го і о oYo і

Ґ1

1

0

1

1 1

2

0

1 1

0

1 1

A2

0

1 1

Частина 4. Матриці та визначники

Розглянемо зміст елементів А2. Елементи г'-го рядка цієї матриці рівні кількості вказаних в умові напрямків з точки і. Так, точка і = 1 має лише один напрямок, що пов’язує її з вершиною 2, що не дорів-нює7 = 1, тобто ап = 1; а12 = 0 тому, що не має інших ребер між точкою 1 та 2; а = 1 та а = 1 тому, що точка 1 має лише одне ребро,

13        14

що зв’язує її з точкою 2, 2^3, 2^4.

У випадку Ь) згідно з визначенням елементів а.. та вигляду по-єднань вершин, зображених на малюнку 1, Ь) маємо:

A

 

0 10 0 1 10 110 0 10 10 0110 1 10 0 10

 

Ця матриця квадратна п’ятого порядку, тому А2 також буде квад-ратною матрицею п’ятого порядку, а саме

A2

 

0 10 0 1 10 110 0 10 10 0110 1 10 0 10

 

0 10 0 1 10 110 0 10 10 0 110 1 10 0 10

 

2 0 110

1 2

1 1

0 31 11 2

113 0 2 10 2