3.5. Різницеві рівняння


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

•          Означення 1. Нехай у0, ух, у2, у3, ... - послідовність дійсних чисел.

Різницевим рівнянням порядку k називають рівняння, що зв’язуе уп,

y,, y„, w„, ... y ^, для кожного значення п (п = 0, 1, 2, 3, ...).

■ Приклад 1. Визначити порядок різницевих рівнянь:

а) і/ і3 = Зга/ ; Ь) у ^ =2 - 5г/ ^. = у ; с) у2^. + 8у3 + у = 4.

Рівняння a) 3 порядку тому, що зв’язує у з у ^. Рівняння Ь) 2 порядку тому, що зв’язує уп, уп+1, уп+2. Рівняння с) першого порядку тому, що зв'язує у , у ^..

^ Зауваження. В означенні 1 індекс п змінюеться від 0 і приймае цілі додатні значення. Але п може починати змінюватись не обов’язко-во з 0, а з інших значень. Наприклад, з (-1) або 3 і таке інше. У таких випадках п буде приймати відповідні можливі значення.

•          Означення 2. Розв’язком різницевого рівняння називають

таку множину значень у , яка задовольняе різницеве рівняння для усіх

можлиеих значень п, при яких у визначена як функція п.

Ш Приклад 2. Показати, що послідовність

уп=—п(п + 1), 1,2,3,...          (1)

є розв’язком різницевого рівняння

У ~ У -1 = п- (^)

^ Розв’язання. Шдставимо у формулу (1) значення п = 1, 2, 3, 4. Одержимо:

1          1

Уі = 2"1"(1 + 1) = 1;   #2 = 2-2-(2 + 1) = 3;

1          1

уг =--3-(3 + 1) = 6;    У4 =--4-(4 + 1) = 10.

Перевіримо, що усі ці значення задовольняють рівняння (2). Частина 3. Прогресії та математика фінансів

Маємо:

w„- w = 3 - 1 = 2 = 2; w„- w = 6 - 3 = 3 = 3; w. - y = 10 - 6 = 4 = 4.

•s2 ^ 1 ^3 ^2   ^4 JA

Щоб закінчити розв’язування, треба показати, що послідовність вигляду (1) задовольняє рівняння (2) для усіх можливих п. Для цього спочатку знайдемо у .. Член послідовності визначено для усіх п = 1, 2, 3, ... формулою (1). Шдставивши замість п у формулу (1) (п - 1), одержимо

у„_1=-(«-1)(«-1 + 1) = -«(«-1).

Тепер підставимо г/ та у . у ліву частину рівняння (2). Тоді

111

г/„ _г/„_і =—и(и + 1)—п(п-1) = —п[п + 1-п + 1] = п = п.

Отже, послідовність (1) задовольняє різницеве рівняння (2) для усіх п = 1, 2, 3,..., тому ця послідовність і буде розв’язком рівняння (2).

+ Теорема 1. Загальним розв’язком різницевого рівняння виг-ляду

Уп = аУп-\'

де а задана стала, буде уп=сап, де с довільна стала. Значення сталої с визначається за формулою

с = ура~р,

якщо заданий один член послідовності ур.

Доведення. Різницеве рівняння для п = 1, 2, 3, ... має вигляд:

п = 1: у. = ауг,

п = 2: w = ау = а(ауп) = а2у

п = 3: w = агу„ = а(а2уп) = а3уп       (3)

п = п: у = апуг,

Перша частина теореми доведена із с = г/0.

Якщо у формулі (3) взяти п = р, тоді одержимо у = аруп, але г/„ = с, тому у = аРс => с = у агр, що і треба було довести.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Розв’язок ii = са" різницевого рівняння іі = аіі . зростає за по-казниковим законом при a > 1 і спадає при 0 < a < 1.

Відмітимо, що запільний розв’язок різницевого рівняння залежить від довільної сталої с. Для її знаходження треба мати ще якусь інфор-мацію.

■ Приклад 3. Знайти розв’язок рівняння у = -0,5г/, для якого цк = 2.

^ Розв’язання. У даному випадку a = -0,5 і згідно з теоремою 1 загальним розв’язком рівняння буде

у = с(-0,5)и,

де с = у а~р = г/5(-0,5)~5 = 2(-0,5)~5 = -26.

Шдставивши знайдене с у загальний розв’язок рівняння, одер-жимо

г/„=-26[--| =(-l)"+1-26-".

Ознайомимось тепер з іншою теоремою, яка має особливе зна-чення в математиці фінансів.

+ Теорема 2. Загальним розв’язком різницевого рівняння

Уп = аУп-\+ ^'           (^)

де a та Ь — задані сталі, аф\, є послідовність

Ь а-\ де с — довільна стала. Значення с можна визначити, якщо зада-

но хоча б один член послідовності уп. Якщо відомий ур, тоді

УР + Доведення. Позначимо zn=yn +

с = а~р

Ь

р А-1

ь

а-\

Частина 3. Прогресії та математика фінансів

Тоді

Zn aZn-i

Уп

a-\

Уп-

a-\

Уп-аУп-і+—P-(5)

а-\

 

Із рівняння (4) випливає, що уп —аупЛ = Ь,

1-а а^\

= — 1, тому (5)

можна записати так z - az = b - b = 0.

n          n

Отже, z задовольняє рівняння z - az =0, тому за твердженням теореми 1 загальним розв’язком цього рівняння буде z =са", де с — довільна стала. Повертаючись від z до іі, одержимо:

ь п ь

Уп=гп = са    ,

а-\        а-\

що й було потрібно.

Твердження теореми відносно знаходження с випливає з остан-

ньої рівності, а саме

УР = са

Ь

а-\

^ Зауваження. При a = 1 в рівнянні (4) загальний розв’язок буде мати вигляд

yn= y0+nb.      (6)

■ Приклад 4. Знайти розв’язок різницевого рівняння уп-2уп_і=3; уі=5.

^> Розв’язання. Задане рівняння має вигляд (4) при a = 2, b = 3. Тому його загальним розв’язком буде

h          3

у„=са

""         А-1      2-1

Поклавши у цій рівності п = 1 і використовуючи значення у.,

одержимо

г/1=с-21-3 = 2с-3 = 5^с = 4.

Отже, шуканий розв’язок буде таким

уп =4-2" -3.

75

с-Т—— = с-2и-3.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»