3.4.2. Розрахунки ренти


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Деяка частина населення держав з ринковою економікою живе за рахунок ренти, тобто регулярно на протязі певного терміну (на-приклад, на початку кожного року на протязі 20 років) одержують раніше обумовлену величину коштів з відповідного рахунка в банку або страховій компанії.

Виникає задача: скільки коштів треба покласти на рахунок ренти для виконання відповідних умов?

Перш ніж розв’язати цю задачу у загальному випадку, розгляне-мо конкретний приклад.

■ Приклад 2. В день 60-річчя містер Стоун відкрив рахунок ренти в страховій компанії на своє ім’я з умовами, що він буде одер-жувати щорічно у свій день народження, починаючи з наступного року 5 000 доларів на протязі 10 років. Компанія прийняла його кошти і відкрила йому рахунок ренти з щорічним зростанням вкла-дених коштів на 8%. Яку суму внесено на рахунок ренти містера Стоуна?

^> Розв’язання. Позначимо через А1 частину усього внеску, яка за-безпечила виконання умов містера Стоуна та компанії через 1 рік, тобто у день 61-річчя. Ця частина ренти на протязі одного року зна-ходилась на рахунку і тому, згідно з умовою страхової компанії, одер-жала 8% прибутку, тобто стала 1,08А 1. За умовою містера Стоуна ця величина повинна дорівнювати 5 000 доларів. Отже, з рівності

1,08А 1 =5 000

знаходимо

А 1 =5 000(1,08)–1.

Таким чином, саме таку суму коштів треба було внести на раху-нок у день 60-річчя для того, щоб у день 61 річниці одержати 5 000 доларів.

Тепер позначимо через А2 частину первинного внеску, яка че-рез два роки буде сплаченою у кількості 5 000 доларів. Ця частина ренти знаходилась на рахунку на протязі двох років і одержала що-річно 8% прибутку, тобто прийняла значення (1,08)2А 2. З рівності (1,08)2А = 5 000 випливає

 2

Частина 3. Прогресії та математика фінансів

A = 5 000(1,08) 2.

Таким чином, якщо вклад на рахунок ренти дорівнював А2, то в день 62 річниці містер Стоун одержав 5 000 доларів. Якщо містер Стоун у день свого 60-річчя зробив внесок на рахунок ренти величи-ною At + А2, тоді його умова одержання 5 000 доларів у дні 61 та 62 річниць буде задоволена.

Аналогічно можна впевнитись, що внесок

А0 = 5000(1,08У3

дозволить йому отримати 5 000 доларів у день 63 річниці і т.д. Для одер-жання останніх 5 000 доларів у день 70-річчя треба було зробити по-чатковий внесок величиною

А,п = 5 000(1,08У10.

Для повного виконання умов містера Стоуна, він повинен одер-жувати 5 000 доларів усі 10 років, а тому загальний внесок на раху-нок ренти повинен бути

A = \ + Л2+Л3+... + Л10=5000(1,08)_1+ 5000(1,08 )~2 +

+5000(1,08)"3 +... + 5000(1,08)"10.

Таким чином, шукана величина внеску А на рахунок ренти є сума 10 членів геометричної прогресії з першим членом Ь. = 5 000(1,08)_1 і знаменником q = (1,08)-1, її сумою буде

bJl-q") 5000.(l,08)"Tl-(l,08)"

А-

1-q      1-(1,08) '

Помножимо чисельник та знаменник дробу на (1,08) тоді одер-жимо

10

5000

A =     

5000    Гіо 5000

1-(1,08)

(l-(l,08)10) = ^(l-0,4632) =

1,08-1 0,08     0,08

= 33550.

Отже, містер Стоун повинен вкласти на рахунок ренти 33 550 доларів, щоб одержувати по 5 000 доларів щорічно на протязі 10 років.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Тепер розглянемо загальний випадок ренти.

Позначимо через А величину внеску на рентний рахунок. Нехай з цього рахунку роблять виплати розміром Р регулярно, з постійним періодом часу на протязі п періодів, починаючи через один після відкриття рахунка ренти. Нехай величина внеску зростає кожного періоду на R відсотків.

Як і в приклад 2, щоб отримати першу виплату у розмірі Р після першого періоду часу треба вкласти в рахунок ренти таку кількість коштів А,, яка задовольняє рівність

А(1 + 0 = Р,

R

де і =   .

100

3 цієї рівності знаходимо значення А. вигляду

А1=Р(1 + іуі.

Аналогічно знаходимо внесок Л„, який зростає до Р після двох періодів часу

А2=Р(шу2, а також частину внеску A , яка зростає: до Р після п періодів

Загальна величина внеску А на рахунок ренти є сумою

А = А1+А2+... + Ап=Р(1 + іу1+Р(1 + іу2+... + Р(1 + іуп.

тобто A — це сума геометричної прогресії п членів, перший член якої Ь. = Р(1 + ІУ1, а знаменник a = (1+ ІУ1. Тому

bA\-qn) P(l + i)_1ri-(l + i)-«l

A = — - =       —,       -.

\-q       1-(1 + г)

Спростивши останній дріб шляхом множення чисельника і зна-менника на (1 + ї) одержимо

і-(і+,Т

А =

(5) Частина 3. Прогресії та математика фінансів

Фінансисти використовують формулу (5) у вигляді

A = Pa,

n i

 

100

—1 де an/ = i

/i та n.

л 1л Л-n1        R

1 —(1 + i) табульована для різних значень i

Наприклад, а1п/ =6,710081 у таблиці, тому

 1U/ 10 0,08

A = Paw/ =5000-a10/ =5000-6,710081 = 33550,

10 0,08            /0,08

як і в прикладі 2.

■ Приклад 3. Щорічна рента.

Місіс Стоун у свою 59 річницю зробила внесок 120 000 доларів у страхову компанію, як ренту. Компанія страхування життя погоди-лась надавати місіс Стоун 6% щорічного прибутку з внеску і прово-дити щорічні виплати на протязі 15 років. Скільки коштів щорічно буде одержувати місіс Стоун з цього рахунку?

^ Розв ’язання. У даному випадку відома величина внеску на ра-хунок ренти А = 120 000, а також відсоток прибутку R = 6, тобто

i =        =          = 0,06.

100 100

Підставимо значення А та і у формулу (5) або (6) і одержимо шукану величину Р:

120000 =P-a15/ =P-9,712249

/0,06

(значення а взято з таблиці 1). З останньої рівності знаходимо

P =      = 12355,53.

9,712249

Отже, місіс Стоун буде одержувати щорічну рентну виплату ве-личиною 12 355,53 доларів.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»