3.4.1. Рахунки накопичення


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Найпростішим типовим рахунком накопичення є такий рахунок фізичної або юридичної особи, на який регулярно нараховують і за-раховують (наприклад, в кінці кожного місяця або на початку на-ступного року) фіксований доход та роблять баланс вкладень і зап-ланованих відсотків з врахуванням терміну одержаних вкладень.

■ Приклад 1. Кожного місяця робітник вносить 100 гривень на

,           1 „,

свш рахунок накопичення з одержанням приоутку величиною — %

2

за кожен місяць. Обчислити величину його накопичень:

a)         безпосередньо після здійснення 25 внеску;

b)         безпосередньо після здійснення п внеску.

^> Розв’язання.

а) Кожен внесок за місяць зростає в 1,005 рази (0,5% за місяць). Тому перший внесок за 24 місяця перебування рахунку прийме

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

значення 100- (1,005)24. Другий внесок знаходився на рахунку 23 міся-ця, тому він прийме значення 100- (1,005)23 третій внесок стане 100- (1,005)22, і т.д. Отже, загальна сума накопиченого рахунку роб-ітника прийме значення

S= 100- (1,005)24 + 100-(1,005)23+ ...+ 100-(1,005) + 100.

Якщо записати праву частину в оберненому порядку, тоді її мож-на розглядати як геометричну прогресію з першим членом й = 100 і знаменником q = 1,005. Тому, використовуючи формулу суми скінченної геометричної прогресії, одержимо

25

100 (1,005)/о-1

25

bAqn-\) ЮО (1,005) -1

S -

q-\       1,005-1           0,005

= 20000[1,13280-1] = 2655,91.

Таким чином, після 24 місяців робітник буде мати на своєму рахунку накопичення 2 655,9 гривень.

Ь) Для знаходження величини рахунку накопичення безпосеред-ньо після здійснення п внеску, слід рахувати (п - 1) місяць першого вкладу. Після (п - 1) місяця перший вклад величиною 100 гривень зросте до 100"(1,005)"_1, другий вклад зросте до 100-(1,005)"~2 і т.д. Таким чином, загальним значенням рахунку накопичення буде сума

S= 100-(l,005)n_1 + 100- (1,005)и~2 + ...+ 100-(1,005) + 100.

Знову одержали суму геометричної прогресії з першим членом 100 (розглядаємо її в оберненому порядку) і знаменником q = 1,005. Тому вона буде мати вигляд

bAqn-\) ЮО (1,005)"-1

s -

= 20000

(1)

(1,005)" -l

д-1      1,005-1

^ Зауваження. Формула (1) дозволяе знайти величину накопи-чених коштів при умовах задачі за довільну кількість місяців. Наприк-лад, після 59 місяців на рахунку буде

20 000- [(1,005)59- 1] = 20 000- [(1,34885- 1] = 6 977 гривень.

Тепер узагальнимо проведені при розв’язанні прикладу 1 мірку-вання на випадок, коли перший внесок на рахунок накопичення

Частина 3. Прогресії та математика фінансів

дорівнює величині Р, а поетапний відсоток зростання величини коштів дорівнює R за кожен певний період. У фінансових розрахун-ках застосовують позначення

R

г = —. (/)

100

При таких позначеннях величина накопичених коштів на рахун-ку після (п - 1) періоду їх зберігання буде

s = p(i+i)n~i+p(i+i)n~2 + ... + Р(і + і) + Р.

Якщо цю суму записати в оберненому порядку, то одержимо суму геометричної прогресії п членів, з першим членом A = Р та знамен-ником q = 1 + і. Тому, згідно з формулою суми скінченної геомет-ричної прогресії маємо

bl(qn-l)P[(l + i)n-l

q-\       (1 + 0-1

Р (1 + )"-1

(3)

^ Зауваження.

1)         Якщо у формулі (3) покласти Р = 100, г = 0,005, то ми одержи-

мо результат прикладу 1.

2)         У фінансовш розрахунках формула (3) використовуеться у

вигляді

s = P'sn/>        (4)

де значення s, для різних п та г вказані в спеціальних розрахункових

таблицях (дивись, наприклад, таблицю 1).

Так, розв’язок прикладу 1, а) за формулою (4) буде згідно таблич-

ному значенню sn,:

s = P-s =Ю0-525/ =100(26,559115) = 2655,91.

/і          /0,005

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»