3.3.1. Властивості геометричної прогресії


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

1. Будь-який член геометричног прогресіг з додатними членами, починаючи з другого, дорівнюе середньому геометричному двох сусідніх з ним членів:

bk = ■Jbk_1 ■ bk+1 . (3)

Дійсно, за формулою (2) маємо b, = b,qk–1

4b~b—1=4kqk-2-b1qk =4b12-q2{k-1] =\qk~\ Бачимо, що обидві частини рівності (3) однакові. Частина 3. Прогресії та математика фінансів

2. Добутки членів скінченног геометричної прогресії, рівновіддале-них від п кінців, рівні між собою, тобто

bk • bn_k+1 = btbn.    (4)

Дійсно,

bk-bn_k+x=kqk-'-bxqn-k=blqn-\

bi-bn = bi-bi-q"-i=b?qn-i.

Отже, обидві частини рівності (4) однакові.

4. Сума членів скінченног геометричної прогресіг може бути знай-дена за формулою:

J„ =—  •         (р)

\-q

Для доведення цієї формули запишемо

S =bx+bxq + btq2 +... + \qn~x.          (6)

Помноживши обидві частини цієї рівності на q, одержимо

qSn = btq + btq + btq +... + btqn.       (7)

Віднімемо почленно з рівності (6) рівність (7), тоді одержимо

sn -(Isп =b1+(b1q + btq2 +... + \qn-')-(btq + btq2 +... + Ьд^)-\qn =>

=> Sn - qSn =bl- bxqn, тобто (1 - q)S = b.{\- q"). 3 останньої рівності випливає формула (5).

4. Суму всіх членів нескінченног спадног геометричног прогресіг зна-ходять за формулою

1

S

h

 

(8)

\-q

Доведення. Члени геометричної прогресії спадають, тому \q\ < 1. Розглянемо суму членів вказаної геометричної прогресії як границю суми скінченної геометричної прогресії. Тоді

b\^-qn\ b і \ b і 5 = lim5„=lim^—L = ^\im(\-qn) = ^- liml-lim^ .

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Але liml = 1, limqn = 0. Отже, S = —— , що i треба було до-

вести.

■ Приклад 2. Перетворити періодичний дріб у простий дріб:

а) 0,(5);           Ь) 0,3(7).

^> Разв’язання.

a)         Маємо чистий періодичний дріб

0,(5) = 0,555... = — + — + ^ + ...,

w         10 100 1000

тобто маємо нескінченно спадну геометричну прогресію, в якій

, _ 5 _ 1 _ 1

#і == 77' *? = 7- Тому за формулою (8)

10 1     10

0(5)=JL=I.A=^=5

4 ; 1-1/ 210 18 9

/10

b)         Маємо мішаний періодичний дріб

0,3(7) = 0,3777... = — + — + ^ + ^ + ...

w         10 100 1000 10000

Після першого доданка маємо нескінченно спадну геометричну

1 7       1

прогресію з першим членом о. =    та знаменником a = —.

100      10

Тому

0із(7)=1+іж=1+Х:і=1+1=^іІЛЛ.

10 1-1/ 10 100 10 10 90 90 90 45

/10

Частина 3. Прогресії та математика фінансів