3.2.1. Властивості арифметичної прогресії


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

1.         Кожен член арифметичног прогресіг аі,а2,...,ап, починаючи з

другого, дорівнюе середньому арифметичному двох сусідніх з ним членів, тобто

ak = —            —, де k > 2 .   (2)

Дійсно, якщо ak = ak_t + d, ak+i =ak+d => ak = ak+i — d.

Сума цих рівностей дає: 2ak = ak_t + ak+i звідки випливає фор-мула (2).

2.         Сума двох членів скінченног арифметичног прогресіг, рівновідда-

лених від п кінців, дорівнюе сумі крайніх членів ціег прогресіг, тобто

ak + an_k+1 = at + ап, k>2.   (3)

Дійсно,

ak +an_k+i =[a1 +(&-1)йП + [а1 +[n-k)d\ = 2ai +{n-\)d;

at +an=ai+ai +[n- l)d = 2at +{n-l)d.

Праві частини цих рівностей співпадають, тому їх ліві частини рівні, тобто має місце рівність (3) для k > 2.

3.         Сума членів скінченног арифметичног прогресіг дорівнюе добут-

ку півсуми крайніх п членів на число всіх членів:

S =—  --п.      (4)

2

Для доведення цього твердження запишемо суму S арифметич-ної прогресії двома способами:

S = а„ +а„ +...+ a , + a, S = а +а . +...+ ап + а..

п          п          п-\       2          1

Додавши почленно ліву і праву частини, одержимо згідно фор-мули (3):

25 = (а, + а)-п,

п          1          п' 7

звідки і випливає формула (4).

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

▼ Наслідок. Якщо замість ап підставити у формулу (4) його значення у вигляді (1), modi одержимо другу формулу для суми членів арифметичног прогресіг:

2ax + (n-\\d

S =      —п.     (5)

■          Приклад 1. Між числами 7 та 35 записати 6 чисел, які разом

з заданими числами утворюють арифметичну прогресію.

^> Розв’язання. За умовою: а1 = 7, п = 8, а8 = 35.

3 рівності а8 = at + Id одержимо: 35 = 7 + Id => Id = 28 => d = 4.

Таким чином: -=- 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35.

■          Приклад 2. Визначити a., d та п арифметичної прогресії, в

якій 5 =30, S=75, 5 =105.

3          5          и

^ Розв’язання. За умовою «. + «„ + a = 30. Але а, + aQ = 2а„, тому

 12       3          13        і

2a„ + а„ =30 => a = 10.

2          2          ^ 2

Аналогічно: а.+ ап + а0 + а, + ак = 75, але а. + ак = ап + а, = 2а0,

12345  1524    З7

тому 5а3 = 75 => а3= 15.

Знаючи а0 та а„, знаходимо різницю прогресії d = а0 - ап = 10 - 5 = 5. Але тоді a = а„ - rf = 10 - 5 = 5. Згідно з умовою

12

2a. +d(n-l)

2

Шдставивши у цю рівність а. =5 та d = 5, знайдемо п.

w = 105^[10 + 5w-5]-w = 210^ 2

=>5n2 + 5n-210 = 0=>n2-n-42 = 0=>n1=-7

не підходить тому, що кількість членів прогресії додатна, пп = 6.

Відповідь: а = 5, d = 5, п = 6.

і

■ Приклад 3. Фірма почала використовувати нову технологічну лінію вартістю 1 млн. 700 тис. гривень, вартість якої буде зменшува-тися кожного року на 150 тис. гривень. Знайти значення вартості цієї

56

10 + 5(и-1)

Частина 3. Прогресії та математика фінансів

технологічної лінії після п років. При вартості 200 тис. гривень тех-нологічна лінія буде не придатною для виробництва. Коли це ста-неться?

^> Розв’язання. Згідно з умовою задачі вартість лінії з кожним ро-ком зменшується на 150 тис. гривень, тому її вартість після першого, другого, третього років і далі буде:

1700 - 150, 1700 - 2(150), 1700 - 3(150),... або 1550, 1400, 1250,...

Ця послідовність значень вартості утворює арифметичну прогре-

сію з а. = 1550, d = 1400 - 1550 = -150. Отже,

і

a = a. + (n - l)d = 1550 + (n — 1)(-150) = 1700 - 150n, де а вимірюється у тисячах гривень, n — кількість років. Тепер треба знайти значення n, при якому аn = 200. 3 рівності 200 = 1700 - 150n одержимо

150n =1700 - 200 => 150n = 1500 => n = 10. Отже, цю технологічну лінію можна використовувати 10 років.