2.5. Елементи комбінаторики


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Фахівцям різних спеціальностей доводиться розв’язувати задачі, в яких розглядаються ті чи інші комбінації, складені з людей, літер, цифр чи інших об’єктів.

Так, начальнику цеху потрібно розподілити різні види робіт між верстатами, що є у наявності, завідуючому навчальною частиною університету треба складати розклад занять і т.п.

Галузь математики, в якій вивчаються питання про кількість різних комбінацій, що підпорядковані певним умовам, називають комбінаторикою. Основні поняття та формули комбінаторики ви-користовуються при розв’язуванні багатьох проблем життя, менедж-менту, планування, задач теорії ймовірностей.

Більшість комбінаторних задач розв’язуються з використанням двох основних правил - правила суми та правила добутку.

Правило суми: якщо деякий об’єкт А можна обрати т спосо-бами, а об’єкт В - п способами (незалежно від вибору А), тоді вибір або А або В можна зробити т + п способами.

Наприклад, якщо з двох цехів, в яких працюють 40 та 45 праців-ників, треба обрати одного на профспілкову конференцію, тоді це можна зробити 85 способами (обрати з одного цеху - 40 способів, з другого - 45 способів).

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Правило добутку: якщо об’єкт А можна обрати т способами і після такого вибору об’єкт В обрати п способами, тоді обрання пари (А, В) у заданому порядку можна зробити тп способами.

Наприклад, якщо з двох класів, в яких навчаються 29 та 31 учнів, треба направити на міську математичну олімпіаду будь-яких два учня, по одному з кожного класу, тоді можливих комбінацій буде 29-31 = 899.

Деякі комбінації зустрічаються частіше за інші і мають свої назви: розміщення, перестановки та сполучення.

В комбінаториці доведені формули, які дозволяють знаходити кількість цих основних комбінацій. Ці формули разом з правилами комбінаторики дозволяють знаходити кількість будь-яких комбінацій.

Ознайомимось з основними комбінаціями комбінаторики.

• Означення. Комбінаціг, які взяті з п різних елементів в кількості k (k < п) елементів і які відрізняються між собою хоча б одним еле-ментом або розташовані у різному порядку називають розміщення-

ми без повторень, їх кількість позначають А або A (k) і знахо-дять за формулою

A k _ п!

де п! = 1 ■ 2■ 3-... ■ п.

Наприклад, якщо у навчальному плані 10 дисциплін і на кожен день можна планувати 4 різних дисципліни, то розклад занять на кожний день можна скласти

л4 10! 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10 ^

А0 =    =          = 7 • 8 • 9 • 10 = 5040 способами.

^ 6!      1-2-3-4-5-6

Ф Означення. Різноманітні комбінації з п елементів в кількості k елементів (k < п), що відрізняються між собою хоча б одним елемен-том без врахування їх порядку, називають сполученням з п еле-

ментів k, їх кількість позначають Сп або Cn(k) і знаходять за формулою

Частина 2. Початок алгебри

(n-k)\k\

 /2

С =                  (2)

Ш Приклад 15. На підприємстві працюють 15 співробітників, троє з них не мають відповідної кваліфікації. Скільки можна скласти списків:

a)         по 8 співробітників;

b)         по 6 кваліфікованих співробітників;

c)         по 9 співробітників, два з яких не мають відповідної кваліфі-кації?

^> Розв’язання:

a)         при складанні списку 8 працівників з 15 нас нецікавить їх по-

рядок, тому кількість таких списків буде

С* = ^=9'1(ММ2'13'14'15 = 3-11-13-15 = 6435.

b)         при складанні списків 6 кваліфікованих співробітників їх

треба обирати з 12 кваліфікованих (15 - 3) співробітників, порядок

співробітників у кожному списку не враховується, тому кількість

таких списків буде

6 12! 7-8-9-10-11-12

11

С = — =         = 924.

с) для складання списків з 9 працівників, 2 з яких не мають відпо-відної кваліфікації, треба обирати 7 співробітників з 12 кваліфікова-них та 2 співробітника з 3 не кваліфікованих. Кількість потрібних списків згідно із правилом добутку буде

12

„7 г2 12! 3! 8-910-11-12 1-2-3 OQ_.

5!-7! 1!-2! 1-2-3-4-5 1-2

Ф Означення. Комбінаціг з п елементів, в які входять усі п еле-ментів і відрізняються лише порядком елементів називають переста-новками із п елементів, їх кількість позначають Р і знаходять за формулою

Р = п\  (3)

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Відмітимо, що між кількостями основних комбінацій комбінатори-ки існує зв’язок вигляду

Ак

С =——,         (4)

С™ = С^~т.   (5)