2.4. Нерівності


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Існує багато різновидів нерівностей: лінійні, квадратні, раціо-нальні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, показниково-лога-рифмічні, з модулями.

Економістам найчастіше треба розвязувати лінійні (у тому числі з багатьма невідомими), квадратні, раціональні та показникові не-рівності.

При розв’язуванні нерівностей використовують такі властивості нерівностей:

1.         Якщо a > b г с е будь-яке дійсне число, modi a + с > b + с ma

a - с > b - с, тобто нерівність не зміниться при додаванні та

відніманні однакового дійсного числа с у обох його частинах.

 ■ Ґ ~л -, -,      -v         ab

2.         Якщо a > b i c оуоь-яке оооатне число, modi ас > be, a —>—,

cc тобто нерівність не змінюеться, якщо обидві мого частини помножи-ти або поділити на однакове додатне число с.

 Ґ -,      .-,,       -v         ab

3.         Якщо а > b і с оуоь-яке вго емне число, modi ас < be ma —<—,

с с тобто при множенні та діленні нерівності на від'емне число нерівність змінюе свій знак на протилежний.

3 5у -2

■ Приклад 11. Розв’язати нерівність у + — <       hi.

43

^> Розв’язання. Помножимо задану нерівність на 12. Згідно з вла-стивістю 2 нерівність не зміниться, тобто одержимо

12^ + |^12^^^ + lj=>12y + 9^4(5y-2) + 12=>

^>12г/ + 9<20г/-8 + 12^12г/ + 9<20г/ + 4.

Перенесемо члени з невідомим у в ліву частину, а постійні числа у праву частину нерівності, тоді одержимо

12г/ - 20г/ < 4 - 9 ^ -8г/ < -5.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Останню нерівність поділимо на (-8). Тоді, згідно з властивістю 3, нерівність змінює свій знак на протилежний. Отже, маємо:

8г/>5^г/>|,

тобто розв’язком заданого рівняння будуть усі дійсні числа у

5 ^

8

V

■ Приклад 12. Шдприємство виробляє спецодяг, який продає по 60 гривень за кожну одиницю. Матеріал та оплата праці за вироб-ництво кожної одиниці коштує 40 гривень. Власнику підприємства треба кожного тижня сплачувати 3000 гривень за оренду приміщен-ня, охорону, транспортні витрати, оплату праці прибиральниці, бух-галтера та інше. Скільки одиниць спецодягу повинно виробляти підприємство кожного тижня, щоб одержувати прибуток не менше 600 гривень щотижня?

^> Розв’язання. Шукану кількість одиниць спецодягу позначи-мо х. Згідно з умовою задачі витрати кожного тижня складають (40х + 3000) гривень, а доход 60х гривень.

Прибуток = доход - витрати = 60х - (40х + 3000) = 20х - 3000.

За умовою задачі треба одержати прибуток не менше 600 гри-вень, тобто 20х - 3000 > 600 => 20х > 3600 => х > 1800 (одиниць спецодяіу).

В Приклад 13. Знайти найменший цілий розв’язок нерівності 4х - 4Х_3 - 4032 > 0.

^> Розв’язання. Задану нерівність можна записати у вигляді

4""3 (43 -1) > 4032 => 4""3 • 63 > 4032 => 4""3 > ^^ = 64.

юз:

63

тобто

4*"3>43^x-3>3^x>6.

Найменшим цілим розв’язком заданої нерівності буде число 7.

Частина 2. Початок алгебри

У загальному випадку розв’язування нерівностей вигляду /(х)>0, f(x)>0, f(x)<0, f(x)<0

для будь-якого виразу доцільно проводити методом інтервалів. Суть цього методу полягає у тому, що корені рівняння/(х) = 0 розподіля-ють усю область визначення функції/(х) на інтервали, на яких/(х) має постійний знак. Тому можна визначити знак функції на кожному інтервалі шляхом підстановки у функцію замість х будь-якої точки х0 з інтервалу, що розглядається, а потім обирати такі інтервали, на яких функція має знак заданої нерівності.

13

■ Приклад 14. Розв’язати нерівність          <          та знайти

х+2 х-3

найменше ціле додатне значення розв’язку.

^> Розв’язання. Задана нерівність не існує при х = -1 та х = 3.

Тому областю її визначення буде (— °°,— 2] U (—2,3] U (3,°°J. Запише-

мо задану нерівність так, щоб у правій частині залишився лише 0, тобто у вигляді

<0=>   <0^      <.

х + 2 х-3         (х + 2)(х-3)     (х + 2)(х-3)

При множенні нерівності на (-1) вона змінює свій знак на про-тилежний. Тому одержуємо нерівність

2х + 9

~,         гт         г>0

(х + 2)(х-3)

еквівалентну заданій.

Остання нерівність еквівалентна нерівності

/(х) = (2х + 9)(х + 2)(х-3)>0, хФ-2, ХФЗ.

Останню нерівність будемо розв’язувати методом інтервалів. 3 рівності (2х + 9)(х + 2)(х - 3) = 0 одержимо

хх = —, х2 = -2, х3 = 3,

які поділяють область визначення/(х) на інтервали:

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

 

-9/2

-2

0

3

х

Ha інтервалі -»— візьмемо х, = -5, тоді

о

/(-5) = (2(-5) + 9)(-5 + 2)(-5-3) = (-1)(-3)(-8)<0. 9

На інтервалі

2 візьмемо х = –3, тоді

/(-3) = (-6 + 9)(-3 + 2)(-3-3)>0.

На інтервалі (-2, 3) візьмемо хп = 0, тоді /(0) = 9-2-(-3)<0.

На інтервалі (3,°°) візьмемо х = 4, тоді

/(4) = (8 + 9)(4 + 2)(4 - 3) > 0. Отже, розв’язком заданої нерівності буде об’єднання інтервалів,

( 9

2 U(3,~).

де f(х) > 0 тобто x

Найменшим цілим додатним значенням буде 4, оскільки 3 не належить області визначення.