13.2.3. Наближені значення функції та визначеного інтеграла


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Розклад функцій у ряд Тейлора або ряд Маклорена використо-вується для знаходження наближеного значення функції, визначе-ного інтеграла, розв’язування диференційних рівнянь.

Для наближеного обчислення значення функціг f(x) в точці х0 діють так:

1)         розкладають f{X) у степеневий ряд;

2)         підставляють у розклад замість х число х0 і одержують

f{x0 J, як суму числового ряду;

3)         залишають у розкладі перші п членів, а інші відкидають, тоб-

то одержують наближене значення

де S — часткова сума п членів числового ряду;

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

4) оцінюють похибку знайденого наближеного числового значен-ня f (х) ■ Якщо числовий ряд знакопостійний, тоді ряд, складений з

відкинутих членів, порівнюють з рядом збіжної геометричної про-гресії. У випадку знакопочережного числового ряду застосовують ознаку Лейбніца, за якою абсолютна величина похибки буде менше абсолютної величини першого відкинутого члена ряду, тобто

КІ<К+і|-

■ Приклад 10. Обчислити In (1,6) використовуючи три члена розкладу функції у степеневий ряд.

^> Розв’язання. Згідно з розкладом (28) маємо:

2          3          п

Ьі(1 + х) = х    +          ... + (-1)"_1 — + ..., хє (-1,1).

к '        2 3       к ' п     к '

У нашому випадку х = 0,6є(-1,і), тому можна підставити у роз-клад замість х число 0,6 і одержати знакопочережний числовий ряд

і„(і,б)=о,6-М+М_...+нГ.№6Г+.

v ;        2          3          к '        п

Обмежуючись трьома членами розкладу за умовою прикладу одержимо:

ln(l,6)« 0,6-^^ + ^^= 0,6(1-0,3 + 0,12) = 0,492.

Ad       О

Абсолютна величина похибки оцінюється так:

D (0,6)4 0,1296

\Ro <   =         = 0,0324 .

44

Для знаходження наближеного значення визначеного інтеграла діють так:

1) розкладають підінтегральну функцію f\X) у степеневий ряд;

Частина 13. Числові та степеневі ряди

2)         використовуючи властивість збіжного степеневого ряду в ме-жах інтервалу інтегрування, інтегрують степеневий ряд почленно і одержують рівність заданого інтеграла збіжному числовому ряду;

3)         замінюючи суму ряду частковою сумою, одержують наближе-не значення заданого визначеного інтеграла і оцінюють величину похибки.

і/

1 2

■ Приклад 11. Знайти наближене значення інтеграла \е~ х dx .

0

^ Розв’язання. Розклад підінтегральної функції одержали у при-кладі 8 (див. формулу (33)).

Інтервал інтегрування

0, 1

належить області збіжності

 

X +

^-oo,ooj степеневого ряду, тому мають місце рівності:

2"

ге-1

+(-1)

1-2х2+2х4

п!

\e-2x2dx=\

dx =

4          П         ~2п+1

п-1 2   X

 +

2

п! (2п + 1)

2"         1

'w!(2w + 1)'2

1

Х- — + — -... + (-1) •

3 5       v ;

+

12 12 1            , 1.„-1

2п+1

2 3 2 3 5 2 5    к J

+

ге-1

 + (-1)

11        1

 +

ге+1

2 3-22 5-24     w!(2w + 1)2K

Якщо обмежитись двома членами розкладу, то одержимо:

11

2 2"Vx = --— = 0,416.

J          2 12

Абсолютна величина похибки буде

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

l 1

\R0\ <  y = — = 0,0125 .

При необхідності більшої точності можна брати часткову суму більшої кількості членів ряду.

Якщо, наприклад, взяти три члена розкладу інтеграла, то одер-жимо:

і/

2          111

\e-2x2 dx~-- — + — = 0,4209,

2 12 80

о

J

1          1          1

\R\<     =         =          = 0,00015.

 3 4І-9-2 5 24-9-32 6912