Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
13.2.2. Розклад функції у степеневий ряд : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

13.2.2. Розклад функції у степеневий ряд


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

магниевый скраб beletage

Якщо степеневий ряд збігається в інтервалі (-і?,і?), то його су-

мою буде деяка функція х, тобто S = f^x), хє (-R,R).

Часто треба розв’язувати обернену задачу: знайти степеневий ряд, сума якого дорівнює заданій f(x) при XE(-R,R) .

Цю задачу розв’язують з використанням такої теореми.

+ Теорема 5. Якщо в деякому інтервалі, що містить точку х = а, функція fix) має похідні будь-якого порядку, які задо-

вольняють умовам

р' (х) <М, М > 0 для усіх х із цього інтер-

валу та будь-якого п, то функція f{x) для усіх х із цього інтер-валу розкладається у степеневий ряд вигляду

W \ W \ Ґ(й)/   \ f"ia)l   \2         fin4a)/  \«

f(x) = f(a) + ±^(x-a) + ^-(x-a) +... + ^^{х-а) +(24)

Степеневий ряд (24) по степенях ух — а) називають рядом Тей-

лора функції f \х). При a = 0 одержуємо степеневий ряд по степе-нях х вигляду:

f(x) = f(0) + ^x + l^x 2 + ... + J(^-x n+... (25)

v ; v ; 1!           2!         п\

Цей ряд називають рядом Маклорена функції f(x).

У формулах (24) та (25) замість х можна записати змінну и, яка може бути функцією х або незалежною змінною.

Частина 13. Числові та степеневі ряди

Згідно з цією теоремою знаходять розклад у степеневий ряд за-даної функції та інтервал збіжності.

Вкажемо розклад у ряд Маклорена функцій, що використовують-ся найчастіше:

2 п

Є = 1 + —+ —+ ...Н  Г + ---> иЄ[-°°,°°)     (26)

1! 2!    п\

= 1 — и + и —... + (—1) и +..., м<1            (27)

1 + и

U U U  п-1 и

\п(1 + и) = --— + — -... + (-іГ1- — + ..., иє(-ІД) (28)

U U3 U5         п-1 М2" 4

smM = +          ... + (-1) ^       ;- + •••, мє (-00 00 (29)

1! 3! 5!            к ' (2я-1)!        v ;

2          4          2к

cos« = l-- + --... + (-l) (2^ + -, ^(-оо,оо)       (30)

U U     і ,\п U  0л ч

arctett = tt        1          ... + (—1)        ь          и<1    (•JI)

6          3 5       v ; 2w+l           М

. .„       m(m-l) ,           /и(/и-і)...(/и-и + і)       . .

(1 + м ) =1 + яш +і     !и2+... +У       >Л       V+.., \и\<\ (32)

v ;        2!         и!        ' II v у

Саме ці формули використовують для одержання таблиць набли-жених значень відповідної функції.

■ Приклад 8. Розкласти у ряд Маклорена функцію f(x) = е 2х

4$ Розе’язання. Коли хєу-°°,°°) змінна и = —2х2є(—°°,0].

Розклад функції еи у ряд Маклорена має місце для иє (-00,00),

отже і для мє(-°°,0]. Тому можна підставити у формулу (26)

замість и його значення I —2х ) і одержати розклад вигляду

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

e-2'-

_l_2£l+Hfl + ... + (_ir&!l+..., ХЄ(_„Н.

1!         2!         к ' n\     '           \ ' >

Шсля спрощення одержимо ряд Маклорена вигляду

е~2х2 =1-2х2+2хі-... + (-і)п~1—х2п+..., хє(-оооо). (зз)

п\

В багатьох випадках доцільно використовувати слідуючи власти-

вості збіжних степеневих рядів.

+ Теорема 6. Сума збіжного степеневого ряду ^апхп непе-

п=0

рервна функція х всередині інтервалу збіжності.

+ Теорема 7. При почленному інтегруванні чи диференцію-ванні збіжного степеневого ряду його радіус збіжності не змінюється.

За допомогою почленного інтегрування та диференціювання іноді вдається звести заданий ряд до відомого ряду і тим самим знайти його суму.

■ Приклад 9. Знайти суму ряду

„3 4 2 5 з         п + 1 „_і

2 +—Х + —х +—х +... + -    — х +...

1! 2! 3!            (я-1)!

^> Розв’язання. Радіусом збіжності цього ряду буде

D         an        (n + l)n\            n(n + l)

R = lim— = lim-—-——         = lim—^         = °°.

n^°°an+l "^co(w-l)!(w + 2j «^ w + 2

Отже, заданий ряд збігається в інтервалі (— oo;ooj \ в цьому інтер-

валі його сума S(x) неперервна. Згідно з властивістю неперервних

функцій xSyxj також неперервна функція в інтервалі (— °°,°°).

Проінтегруємо добуток xSyx) і одержимо: Частина 13. Числові та степеневі ряди

x,         -r3 V4 -r5       i-"+1

\xS(x)dx = x + — + — + — + ... + -  —

J0 W    1! 2! 5!            (и-1)!

= x2

 y r2     3          и-1

= х.

+ — + — + — + ... + + ..

v 1! 2! 3!         (я-1)!

Вираз у дужках дорівнює Q% згідно формули (26). Звідси, дифе-ренціюванням інтеграла по верхній межі, одержимо:

x5(x) = (xV) = 2х-ех +х2ех = хех(2 + х). Отже, маємо:

S(x) = (2 + x)ex, тобто знайшли суму заданого степеневого ряду.