13.1.5. Знакопочережні числові ряди


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

•          Означення 6. Ряд, члени якого почережно мають додатний та

від'емний знаки, називають знакопочережним. Такий ряд можна

записати, наприклад, у вигляді

2(-і) ип = иі-и2+и3-иі+...+(-іу-і.ип+... (14)

Un>0, п = 1, 2, 3,...

•          Означення 7. Знакопочережний ряд називають збіжним аб-

солютно, якщо збігаеться додатний числовий ряд          , складений

/7=1

з абсолютних величин знакопочережного ряду (14).

Якщо ряд, складений з абсолютних величин членів ряду (14) розбігається, а знакопочережний ряд збігається, то кажуть, що ряд (14) збігається неабсолютно або умовно.

Абсолютну збіжність знакопочережного ряду досліджують з ви-користанням достатніх ознак збіжності додатних числових рядів. Не-абсолютну збіжність знакопочережного ряду досліджують з викори-станням ознаки Лейбніца.

•          Ознака Лейбніца. Якщо абсолютні величини знакопочережно-

го ряду монотонно спадають, тобто

иі>и2>и>...>ип>...

і границя його загального члена дорівнюе нулю при п —> °°, тобто вико-нуеться умова

limf/n =0,

modiзнакопочережний ряд збігається, причому його сума S обов’язково менша першого члена ряду.

Якщо замінити суму цього ряду S його частковою сумою Sm,

тоді абсолютна величина похибки Rm буде менше першого відкину-

того члена ряду, тобто \R I < U ..

 1т       т+1

Частина 13. Числові та степеневі ряди

Остання оцінка використовується у наближених обчисленнях.

В Приклад 6. Дослідити збіжність знакопочережних рядів:

-Acosmx -А/ чв-і 1 ч -^/ А\п-і 2п

а) Zj—2> Ь) ,2-Л / '—' с) Z-A- )       ■

/7=1 '^ п=\      'Ь         п=1     it \ L

^ Розв’язання.

a)         Складемо ряд з абсолютних величин заданого знакопочереж-

ного ряду (сс — довільне число):

loosed |cos2cd |cos3cd            Icosmxl

            1 +       +         L + ...+            +...       (15)

12 2     З2        n 2

Порівняємо цей ряд із збіжним узагальненим гармонічним ря-дом

111      1

— + 7Т + Т + ---~І w + ...     (16)

22 3     п

Кожний член ряду (15) менше або дорівнює відповідному члену

Icosmxl 1

ряду (16) тому, що     < —, п = \, 2, 3,...

п          п

Згідно з ознакою порівняння ряд (15) збігається, а це означає, що заданий знакопочережний ряд а) збігається абсолютно.

b)         У цьому випадку ряд, складений з абсолютних величин

> — - розоіжнии гармонічнии ряд, тому ряд 2^\ ) '~ аосолют-

но не збігається. Для дослідження його неабсолютної збіжності тре-ба застосувати ознаку Лейбніца. У даному випадку обидві умови ознаки Лейбніца виконуються:

111      1

1 >-> — >...> — >...; lim—= 0.

23        п          п^>°° п

Тому знакопочережний ряд Ь) збігається неабсолютно.

c)         У цьому випадку не виконується необхідна умова збіжності

числового ряду тому, що

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

2/7       1

lim^^ = 2-limУ— = 2ФІЇ. n^" п + 1 п^" A !

п

0*7

Отже, 2J(_1)  розбіжний.