13.1.4. Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

В більш повних курсах вищої математики доведені слідуючі до-статні ознаки збіжності додатних числових радів, які бажано зрозу-міти та використовувати.

# Ознака порівняння. Нехай треба дослідити збіжність задано-го ряду

~У\сіп,ап >0.  (10)

Частина 13. Числові та степеневі ряди

Візьмемо другий додатний числовий ряд, збіжність чи розбіжність якого відома

n

ZJ n; bn>0.      (11)

Найчастіше для порівняння беруть ряд геометричної прогресії або узагальнений гармонічний ряд.

* Ознака. Якщо ряд (11) збігаеться і, починаючи з деякого n>N, виконуються співвідношення ап ^Ьп, тоді й ряд (10) також збігаеться.

Якщо ряд (11) розбігаеться і, починаючи з деякого п> N , викону-ються співвідношення an>bn, modi й ряд (10) розбігаеться.

■ Приклад 2. Дослідити збіжність ряду > •

Розв’язання. Порівняємо заданий ряд

1111    1

- +       +         +         + ... + + ...

2 2-2 2 3-2 3 4-2 4     п-Т

1

з рядом геометричноі прогресп, знаменник якого q = —:

2

1111    1

- + ^ + ^г + — + ... + — + ...

2 22 2  2"

Кожний член заданого ряду менший або дорівнює відповідному члену ряду геометричної прогресії, який збігається, тому що \q < 1

1<—(п = 1,2,3-■■)■

п-Т 2"

Отже, заданий рад збігається.

# Ознака Даламбера. Позначимо D постійну Даламбера, яку знаходять за формулою

D = lim-S±L.   (12)

П^°° ап

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Якщо D < 1, тоді додатний числовий ряд У] an збігається. При

n

n=1

D > 1 цей ряд розбігається. При D = l треба застосовувати іншу ознаку.

_          ^          х^ 3n

■ Приклад 3. Дослідити зоіжність раду > =.

nҐі2 n -n

^ Розв’язання. Застосуємо до заданого раду ознаку Даламбера

 

5          n 5

J

D = 11111n^ = 11111

 Пn+1  Пn

2n+1-(n + іу 2n-n

Зn5 3 1            3

lim        = —lim           = —

— 2(n + 1)5 2 — Ґ +іЛ5 2

Отже, заданий ряд розбігається.

# Радикальна ознака Коші. Позначимо K постійну Коші, яку знаходять за формулою

K = \ітnan.       (13)

Якщо K < 1, тоді додатний числовий ряд У] an збігається. При

n

K > 1 ряд розбігається. Якщо K = 1, то треба застосовувати іншу ознаку.

Ш Приклад 4. Дослідити збіжність ряду V*—.

tin n

^ Розв’язання. Застосуємо до заданого ряду радикальну ознаку Коші. Тоді

K = \imna~n =\ітn\ \ — \ =1іт—= 0.

Частина 13. Числові та степеневі ряди

Отже, заданий ряд збігається.

* Інтегральна ознака Коші. Треба дослідити збіжність додат-

ного числового ряду 2Іап > де ап = f(n) ■ Розглянемо невласний інтег-

п

рал \f(x)dx. Якщо цей інтеграл збігається, то числовий ряд також

і збігаеться. Якщо цей інтеграл розбіжний, то числовий ряд також розбіжний.

Ш Приклад 5. Дослідити збіжність узагальненого гармонічного 1

ряду Т]

п=\ 'І

^> Розв’язання. Застосуємо до цього ряду інтегральну ознаку Коші.

 j

ах

Розглянемо невласний інтеграл

ххр

1) При р = \ одержимо:

 і          Ь і

— = Іші — = limm

J у        Ь—»°° J у       Ь—»°°

х\

= lim(ln|6|-lnl) =

В цьому випадку інтеграл розбіжний, отже і ряд розбіжний

°° J ь г~р+і Ь 1

2) Г— = lim\x~pdx = lim         =lim    (bp+i-l).

\XP b^°°\         b^i-pi b^\-p\    I

Неважко бачити, що при р < 1 інтеграл є розбіжним, а при р > 1 інтеграл збіжний.

„          -А 1

Отже, узагальнении гармонічнии ряд 2_,—р є збіжним, якщо

р > 1 та розбіжним, якщо р<\.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»