13.1.2. Деякі властивості числових рядів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Нехай задано числовий ряд

а1+а2+а3+... + ап+1+ап+2+... + ап+т+...    (1)

Якщо в цьому ряду відкинути перші п членів, то одержимо ряд, який називають залишком ряду (1) після п -го члена і позначають гп , тобто

г„ = я„+1 + я„+2 + • • • + ап+т + • • •          (6)

+ Теорема 1. Якщо ряд (1) збігається, то збігається і його залишок, і, навпаки, якщо збігається залишок, то збігається й ряд (1).

Доведення. Нехай ряд (1) збігається. Розглянемо часткову суму п + т членів ряду

^п+т = ^п + \ап+1 + ап+2 + • • • + ап+т ) . (7 )

Зафіксуємо номер п і нехай т —> °° . Тоді границя Sn+m, існує за умовою і дорівнює сумі ряду S.

При фіксованому п Sn є постійне число, тому границя

\ап+1 + • • • + яп+2 +... + ап+т j при т —> оо існує і дорівнює гп. Отже,

S = S + г .       (8)

Нехай тепер залишок збігається. Доведемо, що ряд також збігаєть-ся. Знову в рівності (7) зафіксуємо п та перейдемо до границі при т —> °°. Границя існує тому, що за умовою залишок збігається, а

часткова сума Sn при фіксованому п є постійне число. Отже, гра-ниця

Частина 13. Числові та степеневі ряди

Hm5n+m =Sn+rn.

Із рівності (7) випливає: якщо ряд (1) розбігається, то і залишок розбігається, і, навпаки, якщо залишок розбігається, то ряд також розбігається.

Із рівності (8) випливає, що rn= S — Sn, тому при и —> °° зали-

шок збіжного ряду гп —> 0 .

▼ Наслідок. Якщо в ряді (I) суму перших п членів відкинути, то це не вплине на збіжність чи розбіжність ряду.

+ Теорема 2. Якщо члени збіжного ряду ^ап помножити на

/7=1

число С, то одержаний ряд У] Сап також буде збіжним, а його сума помножиться на С .

+ Теорема 3. Якщо ряди ^ап та ^рп збігаються, то ряд

/7=1     /7=1

У](я„ ± Ьп) також збігається, причому сума останнього ряду до-

/7=1

рівнює

S = Si±S2, де S1=fjan, S2=fjbn.

/7=1     /7=1

Доведення теореми 2 та теореми 3 випливає із означення збіжності числового ряду та властивостей границі.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»