13.1. Числові ряди 13.1.1. Загальні поняття


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Нехай задана нескінченна послідовність чисел

Вираз a1+a2+a3+... + an+... називають нескінченним число-

вим рядом, числа a1, a2, a3,..., an,... членами ряду, an за-

гальним членом цього ряду.

Отже, від послідовності ми перейшли до ряду. За допомогою знака суми ряд можна записати так:

Частина 13. Числові та степеневі ряди

 n

де n приймає значення від 1 до оо .

Щоб задати числовий ряд, треба задати його загальний член an у вигляді формули

an=f(n),

за якою для будь-якого n можна знайти відповідний член ряду.

 n

Наприклад, нехай загальний член ряду an =         , тоді відповід-

n + 1

ний ряд буде:

— — —          n          V n

2 5 10  n 2 +1  ^n 2 + 1 .

Іноді задають декілька перших членів ряду і треба записати увесь ряд, тобто знайти його загальний член.

При цьому треба знаходити загальний член ряду по можливості простішого вигляду.

Наприклад, знайти загальний член ряду

1111

23        4

2 2-22 3-23 4-2

1          1

Маємо: перший член ряду a 1= —, другий член ряду a2 =          2,

2          2-2

1          1

a 3 = 2 3 , a 4 =          4 . Отже, шукана функція повинна мати вигляд

дробу, чисельник якої дорівнює 1, а знаменник повинен дорівнюва-ти n-2n, тобто загальний член заданого ряду буде

1

a =      

n-2

а ряд має вигляд

^ 1

n~1n-2n

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Ф Означення 1. Частковою сумою числового ряду (1) назива-ють суму Sm перших т членів цього ряду, тобто

S2=at+a2; S3=at+a2+a3; ...; Sm=ai+a2+... + am.

0 Означення 2. Сумою S числового ряду ^an називають гра-

/7=1

ницю його частковог суми Sn при п —> °°, тобто

п

S = lim Sn = lim ^ ak.  (2)

k=i

Ф Означення 3. Якщо границя частковог суми ряду е скінчене число, то ряд називають збіжним і позначають цей факт так:

/7=1

Якщо границя частковог суми не існуе або дорівнюе ±°о, то число-вий ряд називають розбіжним.

Ф Означення 4. Числовий ряд вигляду

2^ =e. „-,

 + aq + aq2 +... + aq +...         (3)

/7=1

називають рядом геометричної прогресії із знаменником q та пер-шим членом a.

Ш Приклад 1. Дослідити збіжність ряду геометричної прогресії.

^ Розв’язання. При \q\ < 1 часткова сума Sn визначається за відо-мою формулою суми спадної геометричної прогресії:

 a-aqn

Sn= ,    ■

\-q

Тому сумою ряду у цьому випадку буде

Частина 13. Числові та степеневі ряди

S = limS =lim

 a aqn \ a

1-q 1-q) 1-q a

 

тобто ряд збігається та його сума S

1-q

 _ aqn-a

Якщо \q > 1, TO частковою сумою ряду буде J„ =            , а сума

 q-1

ряду

5 = lim5„=Um^(^"-l) = oo)

П—)^  ft —>co £7       ^ \       /

тобто ряд розбігається.

Якщо q = 1, TO Sn =a + a + ...a = na, тому сума ряду буде

5 = lim 5n = lim na = °°,

тобто ряд розбігається

Якщо q = —1, TO St=a, S2 = 0 , S3 =a, SA = 0, ...

Послідовність таких часткових сум границі не має (вона залежить вік способу прямування п до оо), тому ряд розбігається.

Отже, ряд геометричної прогресії збігається при \а < 1 і розбі-гається при \а > 1.

Ф Означення 5. Числовий ряд вигляду

,£,1.11 1

V         = 1 +   +          + ... +  + ...      (А\

п=\ 'Ь  ZJ        <J        li

називають узагальненим гармонічним рядом.

Математиками доведено, що при р < 1 узагальнений гармоніч-ний ряд розбігається, а при р > 1 цей ряд збігається. При р = 1 ряд (4) приймає вигляд

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

,£,1111 1

Z- = 1+2 + 3+4 + "- + - + "-   (5)

П=1 'Ь li

і називається гармонічним рядом. Цей ряд розбігається.