Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
12.6.2. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

12.6.2. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

магниевый скраб beletage

Ф Означення 11. Диференціальне рівняння другого порядку нази-вають лінійнім однорідним рівнянням з постійними коефіцієнта-

ми, якщо воно мае вигляд

ay" + by +су = 0,         (28)

де a, b ma с - сталі числа.

Для знаходження загального розв’язку такого рівняння доцільно діяти так:

1)         Скласти характеристичне рівняння шляхом заміни у" на k2,

у' на k, У на 1, тобто одержати алгебраїчне рівняння

ak2 + bk + c = 0         (29)

відносно k.

2)         Розв’язати характеристичне рівняння, використовуючи фор-

мулу

, -b±4b2 -Аас /опч

кі2=     •          ( JO)

3) Проаналізувати корені характеристичного рівняння, які можуть бути:

a)         дійсними та різними, тобто \ Ф k2;

b)         дійсними та рівними, тобто \ = k2 = k ;

c)         комплексно спряженими, тобто

Частина 12. Звичайні диференціальні рівняння

,           . „        . „        /—r      -b r, yjiac-b2

kt = a+ip, k2 = a-ip, де i =v-l, oc = —; p =

2a        2a

4) в залежності від значень коренів характеристичного рівняння записати загальний розв’язок заданого диференціального рівняння (28).

У випадку а): у = Схе + С2е 2%. У випадку Ь): у = е (Сх + С2х). У випадку с): у = еах (Сх cos/3x + С2 sin/3xj.

Ш Приклад 10. Знайти загальні розв’язки рівнянь:

a)         у" - Зу' + 2у = 0; Ь)у"+ Ау' + Ау = 0; с) у" + 4у' + 5у = 0 .

^> Розв’язання.

Для рівняння а) характеристичним рівнянням буде

&2-3& + 2 = 0-

Знайдемо корені цього рівняння:

\2 =      =          ; kt=2; k2=l.

3±У9^8 _3±1 22

Корені характеристичного рівняння дійсні та різні, тому загаль-ним розв’язком диференціального рівняння а) буде

у = Cte2x + С2ех.

b)         Для рівняння Ь) характеристичним рівнянням буде

k2+4k + 4 = 0^(k + 2f =0^kt=k2=-2.

Отже, корені характеристичного рівняння дійсні та рівні, тому загальний розв’язок диференціального рівняння Ь) буде таким

у = е~2х (Сх +С2х).

У випадку диференціального рівняння с) характеристичним рівнянням буде

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

^+4x + 5 = 0^^=^^20=-4±2/=_2±.

1,2       22

Корені цього рівняння комплексно спряжені, причому a = —1, /3 = 1. Тому загальним розв’язком диференціального рівняння с) буде

у = е~2х (Сх cosx + С2 sinx).