12.6.1. Рівняння, що дозволяють знизити порядок


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

1. Рівняння вигляду y" = fyxj , де f\xj неперервна в проміжку

[a,bj осі Ox ■ Розв’язок цього рівняння знаходять шляхом знижен-ня порядку та інтегруванням:

x

y'= Г f(x)dx + Ci,

xQ

де x0 - довільне фіксоване значення x із [a,bj, Cі - довільна стала. Інтегруючи ще раз, одержимо загальний розв’язок рівняння у вигляді

x

y = \

x

\f{x)dx

dx \ Ci\x xл I т Co .

2. Рівняння вигляду F(x,y',y") = 0, що не містить явно шукану функцію y, шляхом підстановки

__ , dp

y =p^y =f

dx

зводиться до рівняння першого порядку F x,p, dp = 0 відносно

^ dxj

функції p(x)- Розв’язавши це рівняння, одержують

p = <р(x,Cі)або y' = <р(x,Cі).

Знову одержали рівняння першого порядку відносно шуканої функції y. Иого розв’язком буде

y = \g)[x,C1)dx + C2.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

3. Рівняння вигляду F(y,y',y") = 0, яке не містить явно аргу-мент х, шляхом підстановки

у = Р{У)^У =Г-У аб° У =Г'Р

ay        ау

dp y,p, p dy

 

= 0 відносно

зводиться до рівняння першого порядку F

функції р , що залежить від у. Його загальний розв’язок можна одер-жати у вигляді

р = (р(у,СЛ або у' = <р(у,СЛ^> dy = dx.

<Р{УА)

Інтегруючи, одержимо

dy

Це і є загальний інтеграл заданого рівняння.

■ Приклад 9. Знайти загальні розв’язки рівнянь:

a) у" = x + sinx; b) У   У =х; с) у-у" + (у') =0.

^ Розв’язання.

а) Шляхом інтегрування заданого рівняння одержимо:

2          2

у'= Ux + sinx)dx =       cosx + Ci =      cosx + l + C ,

rf x2 1 x3

y=\\      cosx + i + C1 dx =      sinx + x(l + C) + C.

2

j

b) Рівняння не містить явно шукану функцію y{x\. Застосуємо

, _ „ dp шдстановку y = p. 1 оді y = — і задане рівняння прииме вигляд

dx Частина 12. Звичайні диференціальні рівняння

dp 1

—p = x.

dx x

Це лінійне рівняння відносно р. За формулою (19) одержимо його загальний розв’язок

dx

j

-J

dx

C1+J

Anx

p

^i-o      \A/*\i

.A- o    \A/*\i

C1+j

Повертаючись до шуканої функції y , одержимо

= х

Ly^ T I .X "     6ЛХ

J x

— JC I Ly^ T JC I .

2          S

г/' = x(Ct +x)=> г/= \(C1x + x 2)dx = Ct — + — + C2. Отже, загальним розв’язком рівняння випадку b) буде

у =—х2 + — + С0. 23 2

с) У цьому випадку рівняння не містить явно аргумент х. Тому зробимо підстановку

у'= Р{У)> Т°ДІ у"' = V

dp dy

і задане рівняння прийме вигляд

dp

dp 2

у-р-— + р =0 або у    \-р = 0.

dy        dy

Це рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними

відносно функції р(у).

Відокремлюючи змінні, одержимо

dp dy , , , „      С,

 =—— => т р = -my + тС1 => р = —-.

Р          У         У

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

dy        dy C, , J^J

Але p = — , тому — = —- aoo y-ay = Lxax.

dx        dx y

Звідси одержимо загальний розв’язок заданого рівняння:

У1 -г г - + їоїг—7^~\

2          v