12.5. Рівняння лінійні та Бернуллі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Ф Означення 9. Лінійним диференціальним рівнянням першо-го порядку називають рівняння, яке містить шукану функцію у та

п похідну у' у першому степені. Таке рівняння можна npueecmu до вигляду

у +Рух)у = Qyx).         (18)

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

+ Теорема 1. Загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння першого порядку вигляду (18) можна знайти за форму-

лою

у = е

\p(x)dx

C + \Q{x)-

\p(x)dx

dx

(19)

Доведення. Будемо шукати розв’язок рівняння (18) у вигляді

у = u(x)-v(x).   (20)

Одну із цих функцій можна взяти довільно, а друга буде визна-чатися так, щоб їх добуток задовольняв рівняння (18). Диференцію-ванням рівності (20) no х одержимо:

, du      dv

у =rv + u'r ■

\A>J\J  \A>J\J

Шдставимо (20) та (2\) у задане рівняння (18). Тоді

(21)

dv dx

+ Pv

Q. (22)

du dv   du

            v + u    + P-u-v = Q або —-v + u

dx        dx        dx

Визначимо v так, щоб вираз у дужках дорівнював нулю, тобто, виконувалась рівність

dv dx

(23)

+ Pv = 0.

Це рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Відокремлюючи змінні, одержимо

— = -Pdx =>\D.\V\ = -\P(x)dx + lnC1 =>о = Схе '

V         J

Нам достатньо взяти v(x) Ф 0 . Тому візьмемо Сх=\, тоді

/ \         -\P(x)dx

(24)

 

362

Шдставимо функцію v вигляду (24) у формулу (22). Одержимо:

/ \du „/ ч du Q(x)         rQ(x)

v{x)— = (J{x)=>— = —j—^-=>u = —j—^-dx + C .

dx        dx v[x) J v[x)

Частина 12. Звичайні диференціальні рівняння

Підстановка одержаних функцій u та v у формулу (20) дає за-гальний розв’язок рівняння (18) у вигляді

p(x)dx

-\p(x)dx

y = v[x) C+\Q(x)-v 1(x)dx =e' ■ C+\Q(x)e' * dx що й треба було довести.

Відмітимо, що формула (19) здається складною. Але вона значно спрощує розв’язування багатьох диференціальних рівнянь і якщо її не пам’ятати, то кожного разу цю формулу треба виводити.

Ф Означення 10. Диференціальне рівняння першого порядку виг-ляду

у' + Р ух) у = Qyxy уп            (25)

де п Ф 0 та п Ф 1 називають рівнянням Бернуллі.

Рівняння Бернуллі підстановкою

Z = у~п+1       (26)

зводиться до лінійного рівняння відносно функції Z.

Дійсно, помножимо рівняння Бернуллі (25) на у~п і зробимо підстановку (26), при якій

Ґ = {-п + 1)у-"-у.

Тоді рівняння Бернуллі прийме вигляд

Z' + {1 — njPyxyZ = (1 — njQyXJ.   (27)

Загальний розв’язок лінійного рівняння (27) знайдемо за форму-лою (19) у вигляді

Z = y~n+1 =е{п^Р{х)^ {c + 1-n)JQ{x)e{1-n)P^d4x . Звідси знаходять загальний розв’язок у рівняння Бернуллі.

■ Приклад 8. Розв’язати рівняння ху' -4у = х -у/у . ^> Розв’язання. Запишемо це рівняння у вигляді

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

/ 4        i/

y —y = x-yn

X

1

 T-       *          o          Г"

Це рівняння Ьернуллі з n = —. Поділимо иого на ^/г/ , одер-

жимо:

1 , 4

г=-У   

у)У      х

4У=Х.

Зробимо заміну Z = Jy , тоді Z' = —1= • у' і рівняння прийме

2у[у

вигляд

Z'--Z = -.

х 2

Це лінійне рівняння відносно Z. За формулою (19) знаходимо

Z = e

W

dx

 

X -\<їх

2

C + j—e xdx

J1\VL%

х

C+[-e~2lnxdx J

= x

C+J

X 1

2'?

fifct:

= x 2 C + — lnx

 

364

Використали основну логарифмічну тотожність е = <р(х). Отже, одержали:

Z = -\[y = х2\ С + —ІПХ \=>у = хі\ С + —ІПХ - загальний розв’язок рівняння Бернуллі.

Частина 12. Звичайні диференціальні рівняння