12.3. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

ф Означення 6. Диференціальне рівняння першого порядку вигляду

N (х) dx + М(у\ dy = 0           (12)

називають рівнянням з відокремленими змінними.

У цьому рівнянні коефіцієнтом при dx є функція, яка залежить лише від х або стала величина, а коефіцієнт при dy - функція, яка залежить лише від у або стала величина.

Загальний розв’язок рівняння з відокремленими змінними зна-ходять за формулою

\N(x)dx + \M(y)dy = С,          (13)

тобто шляхом його інтегрування.

Дійсно, ліву частину формули (12) можна розуміти як повний

диференціал деякої функції Uyx,yj, тобто

d~U{x,y) = N[x)dx + M [y)dy. Тоді рівняння (12) буде мати вигляд:

dU(x,y) = 0^U(x,y) є стала. Інтегруючи що рівність та використовуючи властивість невизначе-

ного інтеграла \dll = U + С, одержимо \N(x)dx+ \M(y)dy = С, що й треба було довести.

■ Приклад 5. Знайти загальний розв’язок рівняння

11

—dx + —dy = 0.

х у

^> Розв’язання. У заданому рівнянні при dx та при dy записані функції, які залежать лише від х та у , відповідно.

Тому це рівняння з відокремленими змінними і його загальний розв’язок знайдемо шляхом інтегрування. Одержимо:

Частина 12. Звичайні диференціальні рівняння

f— + f — = C => In \x\ + In I y\ = C => In \xy\ = C => J x J y

e          c          ^ c

=> \xy\ = e => xy = e => y =—e - загальний розв’язок.

X

Ф Означення 7. Диференціальне рівняння першого порядку вигляду

Pi(x)P2(y)dx + Q1(y)Q2(x)dy = 0       (14)

називають рівнянням з відокремлюваними або подільними змінними.

Загальний розв’язок такого рівняння знаходять шляхом зведен-ня його до рівняння з відокремленими змінними, тобто до вигляду

з подальшим інтегруванням.

■ Приклад 6. Розв’язати рівняння 2Х+У + Зх~2у у' = 0 .

^> Розв’язання. Для визначення типу заданого диференціального рівняння першого порядку запишемо його у такому вигляді

            — = —2х2у=>—du + 2 x 2 y dx = 0.            (15)

3 2у dx            3 2у

Отже, рівняння має вигляд (14), тобто воно з відокремлюваними змінними. Приведемо рівняння (15) до рівняння з відокремленими

змінними шляхом його ділення на 3*2^. Одержимо:

dy 2х , _ „        dy (2 Y , _ „

32у-2у 3х        (g-2f ІЗ

Шляхом інтегрування одержимо

2Y       -18_г/ Г2У 2

ln- = C.

V3J 3

/18-*+П| \dx = C~^ +

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Отже, загальним інтегралом заданого рівняння буде

2Y

3          1

= С

л 2 18^ -lnl8 In—

3

Якщо розв’язати цю рівність відносно у, то одержимо загальний розв’язок диференціального рівняння.