12.2. Математичні моделі деяких ситуацій та процесів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

И Приклад 1. (Закон природного зростання). Законом природ-ного зростання називають такий закон, за яким швидкість зростання речовини пропорційна кількості речовини.

Треба знайти формулу для визначення кількості речовини у будь-який момент часу, якщо відомо, що у початковий момент часу, тобто

при t = 0, кількість речовини дорівнювала у0.

^> Розв’язання. Позначимо через y(t) шукану кількість речови-

ни в момент t ■ Тоді швидкість зростання речовини є швидкість зміни функції у. Згідно з механічним змістом похідної та умовою задачі закон природного зростання речовини можна записати у вигляді

dy

^ = ау, (1)

at

де a > 0 - коефіцієнт пропорційності.

За умовою задачі повинна виконуватись рівність

y\t=0= у0.        (2)

Отже, математична модель закону природного зростання речови-ни є задача Коші для диференціального рівняння першого порядку вигляду (1) з початковою умовою вигляду (2).

Рівняння (1) досить просте, тому можна знайти його загальний розв’язок.

Дійсно, рівняння (1) можна записати у вигляді

dy        /л \ / \

^ = adt або d(my) = d(at). у

Частина 12. Звичайні диференціальні рівняння

Якщо диференціали двох функцій рівні, то функції можуть відрізнятись лише довільною сталою, тому

In y = at + C.

Звідси, потенціюванням знаходимо

y = eat+ .         (3)

Формула (3) дає вираз для кількості речовини як функції часу.

Вона містить довільну сталу C, яка може приймати довільні чис-

лові значення. Тому формула (3) дає не один, а нескінченну кількість

розв’язків задачі.

Використовуючи початкові умови (2), одержимо:

yа = eC ■

 и

Отже, формула (3) тепер буде мати вигляд

y = y0eat .       (4)

Це і є шукана формула.

За законом природного зростання (4) зростає кількість живих клітин, кристалів, населення.

■ Приклад 2. (Закон радіоактивного розпаду). Відомо, що радіоактивний розпад речовини здійснюється так: швидкість розпа-ду речовини у будь-який момент часу пропорційна кількості речови-ни, що не розпалась.

Треба знайти формулу, за якою можна визначити кількість речо-вини y, яка ще не розпалась, у будь-який момент часу t при почат-

ковій кількості речовини yп.

^ Розв’язання. Використовуючи механічний зміст похідної та умову задачі, закон радіоактивного розпаду речовини можна записа-ти у вигляді

dy

d = -ay,           (5)

t

де коефіцієнт \-aj від’ємний тому, що функція y{t) спадає і її по-хідна від’ємна.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Рівняння (5) аналогічне рівнянню (1) і тому можна записати шукану формулу у вигляді

у = y0e~at.      (6)

И Приклад 3. (Рівняння руху). Нехай матеріальна точка Myx,y,z,j масою т рухається в просторі. Радіус-вектор цієї точки

позначимо г. Координати точки М є і координатами радіус-векто-ра г. Для математичного опису руху матеріальної точки треба знай-ти вираз г або його координат х, у, z у вигляді функції часу.

^> Розв ’язання. Згідно з механічним змістом похідних першого та другого порядків, вектор

*p=(s(t)J(t),/(t))

at

є швидкість, а вектор

^=М0,/(0,^(0)

є прискоренням руху точки М. За законом Ньютона

т          2 = г ,  (7)

(dtf

де сила F = (X,Y,Z).

Рівняння (7) називають основним рівнянням механіки. Це рівнян-ня еквівалентне трьом рівнянням у координатній формі

mx"[t) = X; my"(t) = Y; mz"(t) = Z.      (8)

Отже, одержали, що математична модель руху є диференціальне рівняння другого порядку (7) або система диференціальних рівнянь (8).

Частина 12. Звичайні диференціальні рівняння

■ Приклад 4. (Зростання інвестицій). Економісти встанови-ли, що швидкість зростання інвестованого капіталу у будь-який мо-

мент часу t пропорційна величині капіталу із коефіцієнтом пропор-ційності рівним узгодженому відсотку R неперервного зростання капіталу. Треба знайти закон зростання інвестованого капіталу, вра-

ховуючи величину початкової (£ = 0) інвестиції К0.

^> Розв ’язання. Спочатку побудуємо математичну модель цієї за-дачі.

Позначимо: K(t) - величина інвестованого капіталу у момент t

dK(t)

(шукана функція). Тоді          — - швидкість зміни величини інвес-

dt

R

тици, г

100

За умовою задачі маємо:

dK(t) Т, ,

            j—!- = ГК [tj

I dt       .           (9)

^МІ£=о=^о

Одержали задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку аналогічного рівнянню (1).

Тому загальним розв’язком диференціального рівняння буде фун-кція

K(t) = ert+c = ecert.    (10)

Згідно з початковою умовою при t = 0 маємо

К0 =ес ■ Отже, розв’язком задачі Коші (9) буде функція

K\tj = KQert.  (11)

Це означає, що при умовах задачі інвестиції з часом зростать за експоненціальним законо.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»