Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
12.1. Загальні поняття : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

12.1. Загальні поняття


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Ф Означення 1. Звичайними диференціальними рівняннями на-

зивають такі рівняння, які містять шукану функцію одніег змінног та гг похідні або диференціали.

Це означення у загальному вигляді математично можна записати так

F{x,y,i/,y",...y{n)} = Q.

Ф Означення 2. Найвищий порядок похідног, що містить диферен-ціальне рівняння, називають порядком диференціального рівняння.

Наприклад, рівняння ху'— Зу" = 2cosx - другого порядку;

2

рівняння ут — х у' = 0 - третього порядку; рівняння у' A—у = 3е~х

X

та х dx — xydx = 0 - першого порядку.

• Означення 3. Загальним розв’язком диференціального рівняння п -го порядку називають функцію у, яка залежить від ар-

гументу х та п довільних сталих Ct, С2,..., Сп, тобто мае вигляд Частина 12. Звичайні диференціальні рівняння

y = <р(х,С1,С2,...,Сп) яка, npu n підстановціyрівняння, перетворюе рівняння y тотожність.

Загальний розв’язок диференціального рівняння може бути і не розв’язаним відносно у, тобто мати вигляд F (х, у, С1, С2,..., С = 0.

У цьому випадку його називають загальним інтегралом диферен-ціального рівняння.

•          Означення 4. Якщо у загальному розв’язку (інтегралі) дифе-

ренціального рівняння замість довільних сталих записати фіксовані

постійні числа, то одержаний розв’язок називають частинним роз-

в’язком цього рівняння.

Найчастіше сталі C1, С2,..., Сп обирають не довільно, а так, щоб

розв’язок рівняння задовольняв деяким початковим умовам. Для знаходження п довільних сталих треба задати п початкових умов.

•          Означення 5. Сумісне завдання диференціального рівняння та

відповідног кількості початкових умов називають задачею Коші.

Наприклад, для диференціального рівняння першого порядку задачу Коші можна записати у вигляді

F(x,y,y') = 0

У | х=х0 = 0

Для диференціального рівняння другого порядку задачу Коші можна записати у вигляді

F(x,y,y',y") = 0

У х=х = УУ

 

= УУ дослідженнях різноманітних життєвих та економічних проблем найчастіше використовують диференціальні рівняння першого та другого порядків певних типів та відповідні їм задачі Коші.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

В теорії звичайних диференціальних рівнянь можна виділити дві основні задачі:

1)         знаходження диференціального рівняння та початкових умов, які описують ситуацію або процес, який досліджують;

2)         розв’язування заданої задачі Коші або знаходження загального розв’язку заданого диференціального рівняння.

Розглянемо декілька прикладів розв’язування цих основних задач.