11.5.3. Максимізація прибутку за часом


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Нехай V(t), D(t) та P(t) — загальні витрати, доход та прибу-ток, що змінюються з часом, тобто залежать від часу t. Тоді

P(t) = D(t)-V(t) або P'(t) = D'(t)-V'(t).

Максимум загального прибутку буде тоді, коли P'(t) = 0 або D'(t) = V'(t).

Іншими словами, існує такий час t, коли D'(t\ = V'(t), тобто

швидкості зміни доходу та витрат рівні (див., наприклад, мал. 9).

Загальний прибуток за час t1 можна

знайти за формулою

ч          ч

P(t1) = jP'(t)dt = j[D'(t)-V'(t)]dt(24)

00

Із мал. 9 бачимо, що максимум прибутку дорівнює площі між криви-

ми D'(t) та V'(t) на проміжку

^ є [0,^ J (заштрихована частина).

t1         Т

Мал. 9.

■ Приклад 11. Швидкості зміни витрат та доходу підприємства після початку його діяльності визначалися формулами

23        23

V'(t) = 5 + 2t , та D'(t) = 17 — t ,

де V та D вимірювались мільйонами гривень, а t вимірювали рока-ми. Визначити, як довго підприємство було прибутковим та знайти загальний прибуток, який було одержано за цей час.

^> Розв’язання. Оптимальний час t1 для прибутку підприємства одержимо з умови D'(t) = V'(t):

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

5 + 212 = 17 - 2 3 => 3 2 3 = 12 => 2 3 = 4 => t1 = 4 3 = 8 .

Отже, підприємство було прибутковим 8 років. За цей час було одержано прибутку

P = \[D\t)-V\t)\dt = \

17-t 2-5-2t 2

dt = ]112-3t2/3Adt

 

12t-3

5 3

8          9

= 96     32 = 38,9 (млн. гр.)

0