11.4. Застосування визначених інтегралів 11.4.1. Обчислення площ


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Якщо на відрізку \а,Ь\ функція fix) > 0, то згідно з формулою

(4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на мал. 1, можна знайти за формулою

ь S =\f(x)dx.

a

Якщо на відрізку [а,Ь\ функція f(x)<0, то криволінійна тра-

пеція, обмежена кривою fix), відрізком [а,Ь\ та прямими х = a і х = Ь, буде розташована нижче осі Ох . Визначений інтеграл

ь

\fix)dx у цьому випадку буде < 0. Але площа є невід’ємною ве-

а

личиною, тому площу криволінійної трапеції, розташованої нижче осі Ох , треба знаходити за формулою

S =

\f[x)dx

або S = -jf(x)dx, (f(x)<0).

Якщо fix) на відрізку \a,b\ декілька разів змінює свій знак, то інтеграл по відрізку [а,Ь\ треба розбити на суму інтегралів по част-кових відрізках. Інтеграл буде додатним на тих відрізках, де f(x)>0

та від’ємним там, де fix) <0. Інтеграл по відрізку [а,Ь\ дає різни-

цю площ, що лежать вище та нижче осі Ох (див. мал. 2).

Щоб одержати суму площ (без врахування розташування віднос-но осі Ох ) треба знайти суму абсолютних величин інтегралів по часткових відрізках або обчислити інтеграл від абсолютного значен-ня функції тобто

Частина 11. Визначені та невласні інтеграли

 

Y t       i                       y = f(x)

            i \ +\

i \         / + \      / i / i

/+ '       X

0          a \ —               - / A    

Мал. 2.

b

S = \\f(x)\dx.

Ш Приклад 6. Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом

Xі + — = 1.

X

^> Розвязання. Із аналітичної гео-метрії відомо, що цей еліпс має вигляд такий, як на мал. 3.

Шукана площа S дорівнює ASt, де

S. - площа заштрихованої частини еліп-

са, що розташована у першому квадранті Отже,

1

S = A\ydx

Із рівняння еліпса знаходимо у : у2=4(і-х2)^

^>у = ±2 VI -х .

A Y

–2

Мал. 3.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Для заштрихованої частини еліпса у > 0 , тому у = — х і МИ одержуємо

1                                 1

S = 4\2у1-х dx = 8\\Jl-x dx.    (13)

00

Заміна х = sin t дає:

dx = cost-dt; ^ = arcsinx, *Jl-x2 =yjl-sin2t =cost;

^=arcsinO = 0; £Б = arcsin 1 = -.

Отже,

A         П/        П/        П/        П/

1 .                    /2         /2 л ,    OJ-      -1/2     л /2

\*Jl-x 2 dx= \ cost-cost <& = j            б/ґ = — j dt + — \ cos2tdt

lf\ sm2t

2І         2

If Я" sin^i 1

2 J 2

o 22

sinO ) я-

За формулою (13) одержимо

z/ = f.(x)

S = 8-— = 2n 4

(квадратних одиниць).

Якщо треба обчис-

лити площу фігури,

обмеженої кривими

Ь X

у = ft yxj, у = f2 yxj та

Мал. 4.

прямими х = a, х = b (дивись, наприклад, мал.

4), то при fAx\>f2(x\ її можна знайти за формулою

ь

S = /1(х)-/2(х)- \dx.     (14)

338

a

Частина 11. Визначені та невласні інтеграли

■ Приклад 7. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями у = у]х та у = х2.

х

^> Розв’язання. Спо-чатку зобразимо фігуру, площу якої треба знайти (мал. 5). Знайдемо точку перетину цих парабол. Координати точок пере-тину задовольняють обом рівнянням, тому

Г~ - 2 -^ - 4 --X4 -х = 0 =>

Y Мал. 5.

Отже, площа заштрихованої фігури буде

2 3

1

0

X

dx

х'2 -

3

3

X

3

1 _2_1__1_ 0~3 3~3

(квад. одиниць).