Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
11.2.3. Заміна змінної у визначеному інтегралі : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

11.2.3. Заміна змінної у визначеному інтегралі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

ь + Теорема 4. Нехай задано інтеграл \f(x)dx, де f(x) не-

а

перервна на відрізку [а,Ь]. Зробимо підстановку x = <p\t),

a <t<jB, де <p(t) неперервна диференційована функція на

відрізку [cc,j3\.

Якщо: 1) при зміні t від а до (3 змінна х змінюється від a

до b, тобто <р(а) = a, <p(j3) = b;

2) складна функція f\ <p(t) визначена і неперервна

на відрізку [а,/3], тоді має місце рівність

ь          р

\fyxjdx=\f\g)\tj\g}'\tjdt. (9)

a          a

Доведення. Нехай F(x) деяка первісна для функції fyxj, тобто

F'(x) = fix). Розглянемо складну функцію F\ (p[t j I. Застосовую-чи правило диференціювання складної функції, одержимо

at         L J       L J

Це означає, що функція _рГ^(^)1 є первісною для функції

f\ (p{t)](p {t).

Звідси, за формулою Ньютона-Лейбніца і рівностей <р\ОС) = а та (p(f3\ = b, одержуємо

Частина 11. Визначені та невласні інтеграли

jf[<p(t)}^t)dt = F[<?(t)]P = F[<p(/5)]-F[<p(a^

a

b

= F(b)-F(a) = jf(x)dx.

a

що й треба було довести.

3

■ Приклад 3. Обчислити ХУ1 + xdx.

^> Розв’язання. Нехай t = УІ1 + Х , тоді t2 = 1 + х => х = t -, dx = 2tdt. Знайдемо межі інтегрування, використовуючи рівність

t = y1 + x:

Отже,

t=y1 + 0=1; t=y1 + 3=2.

2

32

$x1+x~dx = \[t2 -1)2t2dt = 2\[t4-t2)dt

0

= 2

53

= 2

5          3

5 3

15 96-40-3 + 5 _ 116 _ 15

15