11.2.1. Зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

• Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою ме-жею та змінною верхньою межею називають інтегралом із змінною верхньою межею.

Щоб мати звичне позначення, змінну верхню межу позначимо

х

через х, а змінну інтегрування t ■ Одержимо інтеграл \fit\dt, який

є функцію х, тобто ф(х)= \f(t)dt.

+ Теорема 2. Якщо f(x) неперервна функція, то похідна

визначеного інтеграла від неперервної функції по змінній верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї верх-ньої межі, тобто

ҐХ V

Ф'(х) = \ \f(t\dt = f (х). (5)

\а         )

Частина 11. Визначені та невласні інтеграли

Доведення. Надамо аргументу х приріст Ах, тоді функція Ф(х)

одержить приріст, який згідно з властивістю 8 визначеного інтеграла можна записати у вигляді

АФ(х) = Ф(х + Ах)-Ф(х) =

%         тЧ-Ат  %         тЧ-Ат

=]f(t)dt+ J f{t)dt-]f{t)dt= J f{t)dt.

ax        a          x

До останнього інтеграла застосуємо властивість 7, тоді

АФ(х) = f (£)(х + Ах-х) = f (<!;)■ Ах, де х<%<х + Ах. Згідно з означенням похідної маємо

ф/(И = 1іш^^=1іш/^'АГ = 1іш(^) = /(д:),

^^° Дх ^^0 Ах            д*-»о v ; v ;

що й треба було довести.

+ Теорема 3. Визначений інтеграл від неперервної функції до-рівнює різниці значень будь-якої її первісної для верхньої та ниж-

ньої меж інтегрування, тобто якщо Fyxj є первісна функції

f\Xj, то має місце рівність

ь

\f(x)dx = F(b)-F(a),     (6)

a

яка називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Доведення. Нехай F(x) деяка первісна функції f(x). За теоре-

х

мою 2 \ f \tjdt також первісна для f{x) ■ Але дві первісні функції

a

f{x) відрізняються лише на постійний доданок С ■ Тому

х

\f(t)dt = F(x) + C.        (7)

a

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Ця рівність (7) при відповідному обранні С буде тотожністю, тобто має місце для усіх х.

Для визначення С візьмемо у формулі (7) х = a . Тоді

a

§f(t)dt = F(a) + C^0 = F(a) + C^C = -F(a).

a

Отже,

X

\f{t)dt = 77(х)-77(а).

a

Якщо у цій рівності покласти х = Ь, то одержимо

ь

\f(t)dt = F(b)-F(a).

a

Змінюючи змінну інтегрування t на х, одержимо формулу (6), що й треба було довести.

Відмітимо, що різницю F(b) — F(a) позначають часто так:

F(x)

a

тобто F(x)

a

F(b)-F(a).

Тому формулу Ньютона-Лейбніца (6) можна записати у вигляді

\f(x)dx = F(x) .

І           a

Ця формула вказує не тільки на зв’язок визначеного інтеграла з

ь невизначеним, але й спосіб обчислення \fix\dx.

Приклад 1. Обчислити \3х dx.

-Частина 11. Визначені та невласні інтеграли

^> Розв’язання.

I 3x2dx = 3\x2dx = 3 •

 

„-3 X   2

                        = x

3          -1

-1

= 23-(-l)3 =8 + 1 = 9.