11.1.2. Означення визначеного інтеграла та його зміст


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Нехай функція f{xj задана на відрізку [я,6]. Розіб’ємо цей відрізок на п частин точками ділення

У кожному проміжку xk_x xk довжиною Axk = xk — xk_t обере-мо довільну точку ^, і обчислимо відповідне значення функції f(£k), k = l,2,...,n.

Побудуємо суму 2-if K^ki^k' ЯКУ називають інтегральною су-мою для функції fix) на відрізку Га,й1Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

• Означення 1. Якщо існуе скінчена границя інтегральног суми при тахДл^ —> 0, незалежна від способу ділення відрізка [а,Ь\ на ча-

стини та вибору точок £k, mo ця границя називаеться визначеним

інтегралом від функції fyxjна відрізку [а,Ь\ і позначається

ь \f(x)dx.

a

Математично це означення можна записати так:

a          п

\f(x)dx= lim "V/(£)AXL.          (3)

b          k=t

Відмітимо, що числа a та b називають нижньою та верхньою межами, відповідно.

Згідно з цим означенням рівності (1) та (2) тепер можна записа-ти у вигляді

Ь          Т

]J \х) ' ^ ~]J {£)"■£>   (4)

at0

тобто площа криволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою

із змінною швидкістю V = fit) виражаються визначеним інтегралом.

Перевірка існування скінченої границі інтегральної суми для кожної функції утруднена. Але такої перевірки робити не треба тому, що використовують таку відому теорему.

+ Теорема 1. Якщо функція fix) неперервна на відрізку [а,Ь\

або обмежена і має скінчену кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція

fix) інтегрована на \а,Ь\.

Частина 11. Визначені та невласні інтеграли