10.2.5. Інтегрування виразів, що містять ірраціональності


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

При інтегруванні виразів, що містять дробові степені змінної інтег-рування (тобто ірраціональності), методом підстановки зводять підінтегральну функцію до раціонального дробу. Розглянемо декіль-ка випадків.

1. Шдінтегральна функція є раціональним дробом відносно Xа,

V

де а дробове число. У цьому випадку вводять нову змінну t = X , де q - спільний знаменник дробових показників степеня змінної х.

Ш Приклад 8. Знаити J =                 =.

\ІхА -ліх5

1

% Розе’язання. Маємо: J =

45

лг S      'У^1

^ . „     ґ          14 5

Сшльнии знаменник дрооових показників степенів — — —

23 4

і змінної х дорівнює 12. Тому зробимо підстановку t = х12, х = t12,

dx = Yltudt і ми одержуємо: j = j f6 '12i5tndt = 12J— = 12 J* ~1 + 1 dt = 12$(t + l)dt

t/          t/          ly         i-          ly         JЧастина 10. Інтегрування

c.

r dt (f + l)         (           \           —

+12І~Г12 2 +12lnlf-1l + C = 6^12+1J +121nx"-l

2. Шдінтегральний вираз містить дробові степені лінійного

двочлена yax + bj. У цьому випадку доцільно зробити підстановку

і t = (ax + Ь\ч, де q - спільний знаменник дробових показників сте-

пенів двочлена.

_          „          г          dx

Ш Приклад 9. Знаити J =     .

^> Розв’язання. Нехай і t = (x + l)z, x + l = t2, x = t2-l' dx = 2tdt.

Тому

/= \;      = 2\— = 2arctet + C = 2arctgvx + l + C .

}f+t }t 2 + l