Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_d984c2e355f4c20c4ccc26fe77625a79, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
10.2.4. Інтегрування раціональних дробів : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

10.2.4. Інтегрування раціональних дробів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

• Означення 3. Дріб називають раціональним, якщо його чисель-ник та знаменник е багаточленами, тобто дріб мае вигляд

a0xn + axxn x + a2xn 2 + ... + an_xx + an

О, (х) \хт + Ьххт~' + Ь2хт~2 +... + Ьп_хх + Ьп

де а{ ma bk - коефіціенти багаточленів, і = 0, 1,..., п; k = 0, 1, 2,..., т.

Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня чисельника п менше відповідного степеня т зна-менника. Дріб називається неправильним, якщо п>т.

Якщо

Рп{х)

дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник

на знаменник (за правилом ділення багаточленів) і одержати зада-ний дріб у вигляді суми багаточлена та правильного раціонального дробу, тобто

Рп(Х) _М       (у.\. R(X)

~ Мп-т \Х) +

Qm{*)

Qm{*)

Ф Означення 4. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називають правильні дроби вигляду:

 

A

І.

A

х-а Dx + E

ІІІ.

х +px + q

IV.

Gx + F

х1 +rx + s

 

ІІ.

(k> 2, цгле).

p2

(х-Р)

 

-q<0

 

/>2, ціле,         s<Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

P2        «          o          2

Умова q < U означає, що квадратнии тричлен х +px + q

4

не має дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме

можна сказати і про квадратний тричлен х + rx + S.

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів І-го та П-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування:

т r Adx Ard(x-a)

I.          =          = Am\x-a\ + C .

J x-a J x-a

II.         = B\(x — 6) d(x — B) = B     \-C =

\x-(3)k JV        ^ V      ^          -k + i

B

k-l

+ c.

(-k + l)(x-j3y

При інтегруванні найпростішого дробу Ш-го типу треба спочат-ку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.

ттт г Dx + E , r Dx + E           ,

111.0   ax =     0          ax =

JxA+px + q Y P)         P2

x + +q-

 2

V         V         V

x + — = t, оскільки x = t- —, q-—>0, modx = dt

2          2          4

v2 \ позначимо q - — = k 2

4          J

D(t-f\ + E         D.t-VP+E        fAt

J t 2 + k 2        J t 2 + k 2        J t 2 +k 2

Частина 10. Інтегрування

IE-Dp

f dt n 1 2 ,2 2E-Dp 1   * _

— =D--lnr + & +        --arctg- + C.

2

J£2+&2 2 I      I           2 £       k

Aq-p

Повертаючись до змінної x, та враховуючи, що k2 =, або

t, \А(1-Р

к = лІ   , одержимо:

V 2

r Dx+E , D,

^          ЙХ = —In

 

Р

 22

Р

х + — 2

2ЕРр

 

р

4ц -х + ^-2

 „ D, 2  2E-Dp 2х +     „

xarctgi  +С =—In х +рх + д+ ,            =arctgy=          С.

4ч~р2 2          л]ц-р2 ^Іц-р2

Інтеграл від найпростішого дробу типу IV шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла від найпростішого дро-бу типу III.

У повному курсі вищої алгебри доведена така теорема.

+ Теорема 2. Будь-який правильний раціональний дріб розкла-дається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.

Отже, інтегрування раціонального дробу зводиться до інтегруван-ня багаточлена Мп_т (х) (при п > т) та суми найпростіших дробів. Відмітимо, що вигляд найпростіших дробів визначається коренями знаменника Qm(x). Можливі такі випадки:

1. Корені знаменника дійсні та різні, тобто

От{х) = (х-осі)(х-а2)...(х-ат).

 R(x)

В цьому випадку дріб —^-—^— розкладається на суму найпрості-

ших дробів І-го типу:

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

4х) A A           K

 A        Y...A   .           (5)

Qm(x) x-a1 x-a2         x-an

Невизначені коефіцієнти Д, A2,..., Am знаходять з тотож-ності (5).

2. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, тобто

Qm(x) = (x-a)(x-fi)k.

 Rix)

Тоді дріб ——!— розкладається на суму найпростіших дробів

І-го та ІІ-го типу

RiX)     ^          A         В2       Bk

 A        1          A-...А  . (6)

Qm(x) x-a x-P (x-j3f   (x-j3f

Коефіцієнти A, B1,..., Bk знаходять з тотожності (6).

3. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники, тобто

Qm(x) = (x-a)(x-j3) ■[x2+px + qY

R(x)

В цьому випадку дріб           -.—г розкладається на суму найпрості-

Qm{x)

ших дробів І-го, ІІ-го та ІІІ-го типів

R{x) A В1       В2       Bk       +

(7)

^(х) х-а х-/3 (х-/3)2    (x-j3f x2+px + q

Коефіцієнти A, B1, В2,..., Bk, D та E знаходять з тотож-ності (7).

Частина 10. Інтегрування

Приклад 7. Знайти

xdx

(x2+l)(x-l)

Розв’язання. Шдінтегральна функція - це правильний раціональ-ний дріб, знаменник якого містить квадратний двочлен, який не роз-

кладається на множники та один дійсний корінь x = 1, тому цей дріб розкладається на суму найпростіших дробів I та III типу:

x

(x2+і)(x-1)

(Ax + B) C

x +1 x-1

(8)

Невідомі коефіцієнти A, B, та C будемо шукати методом не-визначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності (8) треба привести до спільного знаменника, одержимо

x

(Ax + B)(x-і) + C(x2 + і)

(x2 + l)(x-l)      (x2 + і)(x-1)

Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні, тобто

x = (Ax + B)(x-1) + C(x2 +і)=>x = (A + C)x2 +(B-A)x + C-B. (9)

Рівність (9) можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однаково-му степеню x в обох частинах рівності однакові, тобто

A + C = 0

B-A = 1^C = B = -; A = ---

22

C-B = 0

Отже, розклад (8) тепер приймає вигляд

x 1

1 1

x

1 1

1

2

 

+

+

 +

— + 22

(x2+l)(x-l) (x2+і) x-1 2 x2+1 2 x2+1 2 Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Інтегруючи цю рівність, одержимо

г          х          1 г xdx 1 г dx 1 r dx

4x 2+l)x-l)~~2^ х2+1 + 2^ х2+1 + 2^1^ї

(x2+l)(x-l) 1     1          1

—In х2 +1 +—arctgx + —In\х-1 \ + С = \п

4          2          2

Vx^T

^/х2+1

1

—arctgx +.



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_d984c2e355f4c20c4ccc26fe77625a79, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0