Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
10.2.2. Метод підстановки (заміни змінної) : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

10.2.2. Метод підстановки (заміни змінної)


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Цей метод містить два прийоми.

а) Якщо для знаходження заданого інтеграла Г f(x)dx зробити

підстановку x = (p(t), тоді має місце рівність

\f{x)dx = \f[<p{t)\<p'{t)dt .

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийо-

му треба, щоб функція х = <p(t) мала обернену t = у/(х\

2 і

■ Приклад 4. Знайти інтеграл J = I ,           - .

V25-x 2

^> Розв’язання. Зробимо підстановку х = 5sin t, тоді

л/25-х2 = V25-25sin2/^ = 5cos£, dx = (5sint) dt = 5costdt.

Отже, одержимо

J = J     = 25J sm2 t-dt = —J (1 - cos 2t)dt =

= —(\ dt - j cos 2tdt) = —t     sin2£ + C.

Із рівності x = 5sin£ одержимо t = arcsin — ;

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

sin2£ = 2sin£-cos£ = 2            V25-

55

Отже,

25        x 25 2x

x2

= —arcsm       V25-x +G=>

2          5 4 25

=> / = —arcsin            л/25-х2 +C.

J 2       5 2

b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = (р(х\ тоді має місце рівність

\fl(p(x)~\(p'(x)dx = \f{t)dt.

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t = <p(x).

■ Приклад 5. Знайти х-4х - 3dx.

^ Розв’язання.

Нехай vx - 3 = t, тоді x-3 = t =>x-3 + t,dx = 2tdt. Тому

\xyjx-3dx = \[t2+3)-t-2t-dt = 2\[ti+3t2)dt = = 2\t4t + S\t2dt = -ts +-t3 +С = У{х-3)5 +2^/(x-3)3 +C.

^ Зауваження:

1. Якщо підстановка обрана вдало, mo одержаний інтеграл буде простішим і мета підстановки досягнута.

2.         Якщо підінтегральний вираз містить корінь вигляду ліа2 -х2,

то доцільно застосувати тригонометричну підстановку х = а cos t

або х = a sin t.

3.         Знаходження вдалог підстановки для інтегрування певног мно-

жини функцій е значною подіею в інтегральному численні. Видатний

Частина 10. Інтегрування

вчений XVIII cm., член Петербурзької академіг наук ЛШлер вказав

Г~9                 r dx

підстановку t = х + v х ± а для знаходження інтеграла ,

J yjx 2±a

У цьому випадку

 

dt або

 

•Л;       \А/-ь\/  \Л/іу

1 +

dx

V ух ІЙj

yjx2 ±а J          yjx2 ±а х + yjx2 ± a

dx dt

 

4х2±а t Отже,

dx        dt

f ,         f— = In \t\ + C = In x + 4x 2 ± a

i4xT±^ J t

+ C.