Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
10.1.4. Основні правила інтегрування : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

10.1.4. Основні правила інтегрування


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

магниевый скраб beletage

1.         Постійний множник А можна виносити за знак інтеграла:

у = \Af(u)du = A\(u)du.

Дійсно, позначимо у = А\ (u)du, тоді

dy = d\A\f(u)du \ = Ad\ \f(u)du =A\f(u)du.

Звідси одержуємо:

у = \Af(u)du.

Отже,

\Af(u)du = A\f(u)du,

що і треба було довести. Наприклад,

            dx = — cosxdx = —sinx + C.

J 12     12J      12

2.         Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченог кількості

функцій дорівнюе тій самій алгебраїчній сумі невизначених інтегралів

від кожног із функцій-додатків:

j[f1{u)±f2{u)±...±fm(u)}lu = jf1{u)du±jf2{u)du±...±fm(u)du. (l) Дійсно, позначимо

y=\f1 (u)du ± \f2 (u)du +... + \fm (u)du            (2)

і знайдемо диференціал цієї функції

dy = d \f1 (u)du ±d\f2 (u)du ±...±d \fm (u)du =

= f1 (u)du ±f2(u)du±...±fm (u)du. Але тоді первісною буде

У = \ \f1 [u) + f2 [uJ + ... + fm [uj Idu. (3)

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Ліві частини в (2) і (3) рівні, тому і праві частини також рівні, тобто має місце рівність (1), яку треба було довести.

Зауважимо, що застосування цих правил в деяких випадках по-требують певних перетворень.

■ Приклад 1.

a) j(2x + l) dx = j(4x2 +4x+lWx = 4\x2dx + 4\xdx + \dx =

32

3-5t + 7t2+t3

b) Знайти антипохідні функцій f(t) =

^ Розв’язання. Сукупність ycix антипохідних - це невизначений інтеграл. Згідно з правилами інтегрування та таблиці інтегралів одер-жуємо:

l3-5t+Jt2+t\t = l^-^ + 7 + t)dt = 3lt-2 dt-5l^ + 7\dt +

-2+1    Л+1

J_— Z-ГІ        J.1-T1  • 1       J.Z

+ \tdt = 3         5lnt + 7t +— + C =     51n|d + 7£ +— + C ■

J          -1        2          t           M        2

B Приклад 2. Заданий маргінальний доход фірми

£>'(х) = 15-0,01х.

Знайти функцію доходу та визначити відношення між вартістю одиниці продукції та проданою її кількістю.

^ Розв ’язання. Функцію доходу фірми можна знайти інтегруван-ням маргінального доходу, тобто

D(x) = \ D'(x)dx = \ (15-0,01x)dx = 15\dx-0,0l\ xdx =

304

15x-0,01—+ C = 15x-0,005x 2+C: Частина 10. Інтегрування

де С - постійна інтегрування. Для знаходження С використаємо той факт, що доход повинен дорівнювати нулю, коли не продано жодної одиниці продукції, тобто при х = 0 маємо

0 = 15-0-0,005-(0)2+С^>С = 0.

Отже, функція доходу фірми має вигляд

£>(х) = 15х-0,005х2.

Якщо вартість кожної одиниці проданої фірмою продукції Р і продали х одиниць продукції, то доход буде

D(x) = Px.

Отже, маємо

Рх = 15х-0,005х2 =>Р = 15-0,005х.

Остання рівність описує потрібне відношення.