Частина 10 ІНТЕГРУВАННЯ 10.1. Антипохідні (первісна та невизначений інтеграл) 10.1.1. Поняття антипохідних та інтегрування


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Із елементарної математики відомі взаємно обернені дії: додаван-ня та віднімання, множення та ділення, піднесення до степеня та добування кореня, логарифмування та потенціювання. Іншою парою взаємно обернених математичних операцій є диференціювання та інтегрування.

У частині 8 викладено основи диференціального числення функцій однієї змінної. Диференціюванням функції, як відомо, на-

зивають процес знаходження похідної F'(x) або диференціала dF(x) = F'(x)dx заданої функції F(x).

Обернений процес - знаходження функції Fyxj за заданою по-хідною F'(x) = fix) або заданим диференціалом dF(x) = f(x)dx - називають інтегруванням функції f(x), а знайдену функцію

F(x) називають антипохідною або первісною.

Частину математики, що вивчає цей процес та його застосуван-ня, називають інтегральним численням функції однієї змінної.

Розглянемо приклад задач, що приводять до необхідності інтег-рування функції.

Якщо функція S(t) вказує закон зміни відстані S з часом t

нерівномірного руху, то миттєва швидкість цього руху

V(t) = S'(t)

знаходиться диференціюванням функції S\tj.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Але іноді трапляється так, що швидкість нерівномірного руху V(t) відома як функція часу t і треба знайти закон зміни S(t)

відстані S з часом t. У цьому випадку S'(t\ задана і треба виз-

начити S(t), тобто виконати операцію, обернену диференціюван-

ню.

Інший приклад, якщо нам відома маргінальна функція витрат

Vyx) і треба знайти функцію продуктивних витрат Wx) вироб-ництва х одиниць продукції.

• Означення 1. Первісною функцією для заданої функції

f\х) називають таку функцію F[xj, похідна якої дорівнюе

f\X), або диференціал якої дорівнюе f{x}dx.

Отже, первісна функція F(x) для заданої функції f[x) задо-вольняє рівності

F'(x) = f(x) або dF[x) = f[x)dx.

Наприклад, функція t (х) = — оуде первісною для функцп

f[x) = x2 тому,

що

^3 ^

v3y

= х2 або d

G3 v3,

ІЛ vAfbA/ •

Згідно з правилами диференціювання, функції, що відрізняють-ся лише постійним доданком, мають однакову похідну, тобто

[F(x) + Cn\=F'(x) = f(x).

Тому, якщо f (х) має первісну F(x), то вона має нескінченну кількість первісних функцій, відмінних одна від одної на постійний доданок, тобто функцій вигляду F(x) + C, де С - довільна стала.

Частина 10. Інтегрування

Наприклад, функція f(x) = 3x має первісні

тому, що похідні усіх ціх функцій однакові і дорівнюють Зх2.

+ Теорема 1. Будь-які дві первісні для заданої функції fix) відрізняються лише постійним доданком.

Доведення. Нехай FAx) та F2(x) - первісні для функції fix). Тоді

F{(x) = F2'(x) = f(x). Звідси випливає, що

F;(x)-F;(x) = 0 або [F1(x)-F2(x)n\=0.

Остання рівність означає, що

F1(x)-F2(x) = C або Fx[x) = F2[x) + C,

що і треба було довести.

▼ Наслідок. Щоб знайти усю нескінченну множину первісних функцій (сукупність антипохілннх) достатньо знайти лише одну первісну функцію, a yd інші одержати додаванням до нег постійног.

Отже, сукупність первісних функцій мае вигляд F(x) + C, якщо F(x) - одна із первісних.

Ф Означення 2. Сукупність усіх первісних Flyx) + C для заданог функціг fix) називають невизначеним інтегралом і позначають

\f(x)dx. Отже.

jf(x)dx = F(x) + C Знак I означає операцію інтегрування і називається знаком

інтеграла, вираз flx)dx називають підінтегральним виразом,

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

функцію f (х) - підінтегральною, зміннух, що стоїть під знаком диференціала, називають змінною інтегрування, _F(x) деяка пер-

вісна для заданої f(x),& С довільна постійна інтегрування.

Процес знаходження невизначеного інтеграла називають інтег-руванням.

 

Y '       І           у = F(x) + С, у = F(x) + Сп

            і ^        у = F(x)

/ / 0.                 X

Мал. 1.

Якщо побудувати криву-графік однієї первісної функції Fyx) (мал. 1), то усі інші криві (графіки інших первісних для однієї функції) одержуються шляхом зміщення цієї кривої по Оу на вели-чину, що дорівнює значенню постійної С ■