Частина 2 ПОЧАТОК АЛГЕБРИ 2.1. Дійсні числа та дії з ними


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

В шкільному курсі математики теорія дійсного числа викладаєть-ся досить не повно тому, що основні визначення та доведення твер-джень цієї теорії виходять за рамки шкільного курсу. Але дійсні числа постійно і широко використовуються і тому потрібне більш глибоке розуміння їх властивостей.

В цьому розділі зібрані (як правило, без доведень) властивості раціональних та дійсних чисел, які дають математично правильне уявлення про множину дійсних чисел.

Першими числами, з якими ми знайомимось у молодших класах школи, є натуральні числа: 1, 2, 3, 4, ... Множина N усіх натуральних чисел нескінченна. У цій множині N завжди можна виконати дві операції: додавання та множення. Сума та добуток будь-яких двох натуральних чисел знову будуть натуральними числами. Обернені дії, віднімання та ділення, виконуються у множині натуральних чи-сел не завжди.

Наприклад, 7-9 та 3:5 неможливо обчислити без виходу за межі множини N усіх натуральних чисел. Щоб зробити ці операції мож-ливими треба до множини ІУдодати нові числа: 0, від’ємні цілі числа та дробові, тобто одержати множину R усіх раціональних чисел. Часто раціональні числа визначають так:

Будь-яке дійсне число, що можна представити у вигляді відношен-ня — деяких овох цілих чисел а та b (ое Ь Ф 0 ) називаеться рацю-

ь

нальним.

Але дійсні числа є більш складне поняття у порівнянні з раціо-нальними числами. Тому визначення раціональних чисел через дійсні числа не коректне.

Частина 2. Початок алгебри

Виникає питання: яким чином можна точно визначити множину R раціональних чисел?

Аналогічні труднощі були і в геометрії при визначенні точки та прямої. Шляхом введення аксіом геометрії, які дозволили одержати необхідні властивості точки та прямої, а тим самим - їх «непряме визначення». За допомогою властивостей, що вказані в аксіомах, доводяться усі теореми геометрії.

Отже, коректного визначення раціональних чисел не існує. Зали-шається інший (аксіоматичний) шлях побудови множини R раціо-нальних чисел. Для цього без визначення вводять термін «раціональ-не число» і формулюють властивості раціональних чисел, тобто аксіоми, які по суті є «непрямим визначенням» множини раціональ-них чисел. Множина R усіх раціональних чисел повністю характери-зується такими групами властивостей:

a)         Для будь-яких двох раціональнш чисел a, b визначена їх сума

а+b. Операція додавання комутативна та асоціативна, тобто

a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c).

Крім того, е число 0 таке, що а+0 = а.

Існуе одне раціональне число х — корінь рівняння а+х=Ь.

Це число називаеться різницею чисел Ь ma a і позначаеться Ь-а.

Різниця 0-й позначаеться -а.

b)         В множині R раціональних чисел містяться усі цілі числа (0, ±1, ±2, +...).

c)         Для будь-якш двох раціональнш чисел a, b визначений їх добу-ток ab. Операція множення комутативна, асоціативна та дистри-бутивна, тобто

ab=ba; (ab)c=a(bc); a(b+c)=ab+bc.

При Ь Ф 0 існуе лише одне раціональне число, яке буде розв’язком

r           а          -,         -,

рівняння Ьх=а. Це число позначаеться —, а віоповіона операція нази-

ь

ваеться діленням.

1          а

а) Будь-яке раціональне число можна записати у еигляді —, де a

Ь

mab — деякі цілі числа ( Ь Ф 0 ).

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Отже, раціональними називаються числа, що задовольняють вказаним групам а) – d) властивостей.

Множина R раціональних чисел достатня для усіх арифметич-них операцій. Але раціональних чисел не достатньо для розв’я-зання багатьох алгебраїчних рівнянь (наприклад, х2 = 5), вимірювання дов-жини відрізка прямої, дій з нескінченним неперіодичним десятко-вим дробом. Тому виникає потреба доповнити множину раціональ-них чисел R ірраціональними числами, що разом з R утворюють множину дійсних чисел D.

У шкільному курсі математики ірраціональним називають число, яке можна записати у вигляді нескінченного неперіодичного десят-кового дробу. Але таке визначення ірраціонального числа не коректно тому, що воно вказує лише форму запису ірраціонального числа і нічого не говорить про дії з такими числами.

Виникає потреба аксіоматичного опису властивостей множини дійсних чисел D, частину яких складають ірраціональні числа.

Множина D усіх дійсних чисел повинна задовольняти 5 групам властивостей.

1.         Множина D містить усі раціональні числа.

2.         Для будь-яких дійсних чисел a, b визначена їх сума а+b. Опера-ція додавання комутативна та асоціативна. Існує одне дійсне число – розв’язок рівняння b+х=а; це число називається різницею чисел а та b і позначається а–b.

3.         Для будь-яких дійсних чисел a, b визначений їх добуток ab. Множення комутативне, асоціативне та дистрибутивне. Існує одне

a дійсне число – розв’язок рівняння bх=а, яке позначається , операція

b

знаходження їх відношення називається діленням.

4.         Має місце співвідношення а > b (або b < а), якщо число а–b додат-не. Якщо а від’ємне, тоді –а – додатне. Для будь-якого додатного дійсного числа а знайдеться таке додатне раціональне число r, що r < а.

5.         В множині дійсних чисел D кожна обмежена монотонна по-слідовність має границю.

Відмітимо, що будь-яке твердження відносно дійсних чисел можна довести з використанням цих властивостей.

Частина 2. Початок алгебри

Тепер розглянемо визначення та основні властивості абсолютної величини дійсного числа.

• Означення. Абсолютною величиною \а\ дійсного числа а на-

зиваеться число а, якщо а додатне або дорівнюе нулеві, та число -а, якщо а від'емне, тобто

 \ а, якщо а>0; \а\ =<

{-а, якщо а<0.

Абсолютну величину дійсного числа можна визначити іншим

способом, а саме формулою \а\ = yja2 .

Розглянемо два приклади, у яких одержимо основні властивості абсолютної величини, що дуже часто використовуються.

■ Приклад 1. Довести, що нерівність \а\ < Ь еквівалентна співвідношенням —b<a<b.

^ Розв’язання. Нехай має місце нерівність \а\<Ь. Але \а\ найб-ільше з двох чисел a, -а, тому кожне з них задовольняє нерівність a<Ь, -а<Ь.

Помножимо другу нерівність на (-1), одержимо —Ь<а. Поєднає-мо нерівності -Ь<а та а<Ь, тоді —b<a<b.

Зворотне, нехай має місце —b<a<b, тобто —Ь<а та Ь>а.

Помножимо першу нерівність на (-1) і запишемо у вигляді а<Ь. Таким чином, кожне з чисел а, -а не більше b, а тому й найбільше з

них буде не більше Ь, тобто \а < b.

Ш Приклад 2. Довести, що для будь-яких двох дійсних чисел а, b має місце нерівність \а + b < \а\ + \Ь\.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

^> Розв’язання. Запишемо для чисел а та Ь нерівності

-|«|<«<|«|; -|6|<6<|6|. Шляхом додавання цих нерівностей одержимо

-|«|-|6|<« + 6<|«| + |6| або -(|а| + |ф<а + 6<|а| + |6|.

Таким чином, число с=й + 6 задовольняє нерівностям

—с<а + Ь<с і тому, в силу прикладу 1, \а + Ь <с тобто \а + Ь <\а + \Ь\, що і треба було довести.

В багатьох життєвих ситуаціях та фінансових розрахунках треба робити поділ дійсного числа на декілька прямо або обернено про-порційних частин та знаходити певну кількість відсотків числа.

Розглянемо ці дії з дійсними числами.

Ф Означення. Величини А та В називають прямо пропорційни-

ми, якщо існуе коефіціент пропорційності k такий, що виконуеться рівність

A = kB.

Правило. Для поділу числа А на частини, пропорційні числам В, С, D треба ввести коефіціент пропорційності k. Тоді шукані частини числа А будуть kB, kC, kD, а тому

A = kB + kC + kD => A = k(B + C + D) => k =       .

B + C + D

Знання k дозволяє знайти шукані частини y вигляді

A         A         ^ A

B         , C       > D      •

B + C + D B + C + D B + C + D

Ш Приклад 3. До нового року дідусь подарував онукам, яким 14, 6 та 3 роки, 759 гривень з умовою, що вони будуть поділені пропор-ційно їх віку. Скільки коштів одержить кожен з онуків?

^> Розв ’язання. Треба поділити число 759 на частини пропорційні числам 14, 6, 3. Нехай k коефіцієнт пропорційності. Тоді шуканими числами будуть 14k, 6к та 3k. 3 рівності

Частина 2. Початок алгебри

759

75У = 14« + bk+ok => к =    = oo .

23

Таким чином,

старший онук одержить 33x14 = 462 (гривень),

середній онук одержить 33x6 = 198 (гривень),

молодший онук одержить 33x3 = 99 (гривень).

• Означення. Величини А та В називаються обернено пропор-

ційними, якщо існуе таке k, що виконуеться рівність

k В = — •

A

Правило. Для поділу заданого числа А на частини обернено про-порційні числам В, С, D треба шукані частини вважати рівними

kk k ^ ^.          kk k     _,

—, —, —. looi з рівності A = —I     1— знахооимо k:

BCD    BCD

A         ABCD

!+l+A CD+BD+BC

BCD

Знання k дозволяє знайти шукані частини.

■ Приклад 4. Власник підприємства виділив 88 гривень на зао-хочення трьох працівників і вирішив розподілити ці кошти оберне-но пропорційно кількості втрачених робочих годин. Скільки коштів одержить кожен працівник, якщо один з них втратив 3 години, дру-

25        „

гии      години, третіи — 5 годинг

16

^> Розв’язання. Треба поділити число 88 на частини обернено

25

пропорційні числам 3, —, 5.

16

Нехай k — коефіцієнт пропорційності. Тоді шуканими частина-

ми будуть

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

k k _ \Qk k 3' 25 25 ' 5 16

Отже,

 k 16k k

88 = —H         h —

3 25 5

k-88

25k + 48k + 15k

66

66

k = 75.

75        75

Таким чином, працівник, що втратив 3 робочих години, одержить

75        •          25 ґ

— = 25 (гривень). Працшник, що втратив — рооочих години, одер-

3          16

75 75-16         Ґ

25 16

жить =            = 48 (гривень). Працівник, що втратив 5 рооочих

25

75

годин, одержить — = 15 (гривень). ■ Приклад 5. Сума 4 чисел дорівнює 388. Перше відноситься до другого, як 3:2, друге до третього, як 1:3, а третє число так відносить-ся до четвертого, як 5:7. Знайти найменше з цих чисел.

(1) (2) (3)

(4)

^> Розв’язання. Нехай перше число А, друге В, третє С, четверте D. Тоді маємо

A + B + C + D = 388.

Згідно з умовою

3 A = -B 2

A 3 B 2

C = ЗB;

B 1

             = —

C 3

7 7       21

D = -C = --3B = —B.

5 5       5

C _ 5 _ D 7

Шдставимо (2), (3) та (4) у рівність (1). Одержимо

Частина 2. Початок алгебри

3^^Q^21         15B + 10B + 30B + 42B

—B + B + 3B +—B = 388 =>           = 388 =>

2          5          10

97        3880

=> —B = 388 => B = = 40.

10        97

3          формул (2), (3) та (4) випливає, що А > В, С > B, D > B. Отже,

В є найменшим числом. Відповідь: найменшим з цих чисел буде 40.

• Означення. Відсотком числа С називають          - його час-

100

тину. А відсотків числа С буде       A .

100

■ Приклад 6. Знайти:

a)         8% від 1250 грн.; Ь) 4,5% від 3,6 тони; с) 120% від 350.

^> Розв’язання.

 1250 „ 125-4  ,

а)         8 =       = 25-4 = 100 (грн.);

100      5

,. 3,6т-4,5 3600кг-4,5 36-45  „

b)         =          =          = 18-У = 162 (кг);

100      100      10

 350

с)         120 = 35-12 = 420.

100

■ Приклад 7. Знайти число, 3% якого дорівнюють 36. ^> Розв’язання. Позначимо шукане число А. Згідно з умовою A

• 3 = 36 ^ ЗA = 3600 => A = 1200.

100

■ Приклад 8. В січні завод виконав план на 108%, а в лютому виробив продукції на 7% більше, ніж у січні. Скільки продукції було

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

зроблено понад план за січень та лютий, якщо за місячним планом завод повинен виробляти 90 000 одиниць продукції?

^> Розв ’язання. Згідно з умовою задачі у січні завод одержав про-дукції на 8% більше плана, а в лютому він перевиконав план на

108-7

8% +   = (8 + 7,56)% = 15,56%.

100

Таким чином, за січень та лютий план перевиконано на

(8 + 15,56)% = 23,56%.

Цей відсоток дозволяє знайти кількість одиниць продукції, зробленої понад план

90000

•23,56 = 21204 (одиниць продукції).

100