9.5. Метод найменших квадратів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

При дослідженні різних економічних та соціальних проблем час-то одержують n значень величини x та відповідні їм значення ве-личини y . Результати спостережень записують у вигляді таблиці

 

X         хх        х2        ...         хп

У         Ух       У2       ...         Уп

За даними цієї таблиці необхідно визначити вигляд функціональ-ної залежності між і та і/, тобто від табличної форми завдання функціональної залежності необхідно перейти до аналітичної форми

її завдання вигляду у = f (х).

Розв’язування цієї задачі можна розподілити на два етапи. Спочатку, використовуючи графічне представлення точок

МЛхк,уЛ (k = 1,2,...,п), обирають форму залежності між х та у,

тобто обирають вигляд функції у = f(x).

У випадку лінійної залежності (точки Мк мало відхиляються від прямої лінії) між х та у обирають такий вигляд функціональної

залежності: у = ах + Ь',

у випадку параболічної залежності: у = ах2 + Ьх + с ',

у випадку гіперболічної залежності: у = а/ + Ь;

X

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

у випадку показникової залежності: у = ах + Ь.

На цьому етапі параметри a, Ь та с - невідомі.

Нехай в результаті першого етапу розв’язування задачі обрана

залежність вигляду у = f (х, осх, а2,..., ат) з невідомими параметра-

ми ccv а2,..., ат.

Для знаходження невідомих параметрів на другому етапі розв’я-зання задачі будують функцію

/           \2

S = T(yk-f(xk,ava2,...,am)) ,    (8)

залежну від т параметрів.

Ця функція дорівнює сумі квадратів відхилень точок Mk \Xk,ykJ

від обраної лінії, рівняння якої y = fyx,(Xva2,...,(Xm).

Будемо шукати такі значення параметрів ocv а2,..., ост при яких функція S приймає мінімальне значення, тому відхилення таблич-

них даних (точок Mk yxk,ykj) від обраної функціональної залежності

(відповідної лінії) буде мінімальним.

Необхідна умова для існування екстремуму функції s - рівність нулю частинних похідних:

dS

 0, і = 1,2,...,т.

(9)

Ця умова є системою т алгебраїчних рівнянь з т невідомими. Розв’язок системи (9) і дає найкращі значення шуканих параметрів.

■ Приклад 11. Величина товарообміну х (тисяч гривень) та вит-рати обігу у (гривень) задані таблицею

 

X         60        80        140      160      240      320

У         551      576      628,5   673      768,5   863

Знайти аналітичну залежність між y та x .

Частина 9. Функції кількох змінних

^> Розв’язання. Спочатку побудуємо у прямокутній системі ко-ординат задані таблицею точки (див. мал. 3).

у = f(x)

X

0          20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320

Y a

Мал. 3.

Малюнок дозволяє припустити існування лінійної залежності між г/ та j, тобто у вигляді: у = ах + Ь.

Запишемо для цієї задачі функцію s за формулою (8):

6          2

Згідно з методом найменших квадратів параметри а та Ь по-

винні надавати мінімум функції S.

Використовуючи необхідну умову (9), одержимо

[95 да 95 db

 0 0

Y2{yk-axk-b)-{xk) = 0 6 2(у4-ог4-А)-(-1) = 0

к=1

 

k

«Z^*+*^* =%

 

k

«2>*+66 = %

 

Х

 

Розв’язок цієї системи можна знайти за правилом Крамера:

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

a =

6          ґ 6 л ґ 6 л

k=1 \k=1 j \k=1 j

2

62>*2- 2>*

k=1

4=1 y

(10)

 

I>2 ■ E& -\LxkVk \\Lxk

b

 

A=1 y y&=1 y y&=1   y уй y

6          Г 6 V

6I>*2- IX

k=1      v A=1 У

Використовуючи значення xk та yk з таблиці, одержимо:

(11)

 

6>.

60 + 80 + 140 + 160 + 240 + 320 = 1000.

6

IX = 551 + 576 + 628,5 + 673 + 768,5 + 863 = 4080

6

J] *A& = 60 • 551 + 80 • 576 +140 • 628,5 +160 • 673 + 240 • 768,5

&=1

+320-863 = 735410.

290

IX = (60)2 +(80)2 +(140)2 +(160)2 +(240)2 +(320)2 =215200.

k=1

Підставимо ці значення у формули (10) та (11). Тоді одержимо

6-735410-1000-4080 60 -(73541 -68000) 16623

a =       =          =         ,

6-215200-1000000 100(6-2152-10000) 14560

, 215200-4080-735410-1000 1000 -(2152•408 - 735410)

b =

100(6-2152-10000)

6-215200-1000000 356515

 

Частина 9. Функції кількох змінних

Наближено можна вважати a ~ 1,13, Ь~ 489,71. Отже, одержали функціональну залежність вигляду у = 1,13х +489,71.