9.4.3. Знаходження умовного екстремуму методом Лагранжа


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Екстремум функції z = f(x,y) при виконанні умови <р(х,у) = 0

називають умовним екстремумом функції.

Умовні екстремуми часто використовуються при дослідженні оптимізації багатьох економічних та соціальних проблем.

Для знаходження умовного екстремуму методом Лагранжа треба:

1)         записати функцію Лагранжа вигляду

L[x, у, X) = f[x, у) + А<р(х, у)-

2)         знайти критичні точки Mk(xk, yk, ЛЛ функції Лагранжа,

використовуючи необхідні умови існування екстремуму:

+ Я^ = 0;

dL дх dL ду dL

ш

= 0

= 0 = 0

 

дх

дх

ду ду <р(х,у) = 3) перевірити в кожній критичній точці достатні умови існуван-ня екстремуму:

а) якщо в точці Mk (xk, yk, ЛЛ визначник третього порядку

ЦМк)

0          (р'%[М^ <p'(Mk}

<(Mk) Kx{Mk) L"xy{Mk)

cpy(Mk) L"xy(Mk) i;y(Mk)

 

додатний, тоді точка Mk є точкою максимуму і Zmax=f{Mk) = f(xk, yk);

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

б) якщо визначник AyMkj < 0, тоді точка Mk є точкою мініму-му і zmin =f[Mk) = f{xkt ук).

Ш Приклад 9. Знайти екстремум функції z = ху при умові що х2+у2=2.

^> Розв’язання. Будемо шукати умовний екстремум з використан-ням функції Лагранжа

L = ху + Л(х2 + у2 - 2\. Необхідні умови існування тепер мають вигляд

у + 2Лх = 0 х + 2Лу = 0 х2+у2-2 = 0

Виключаючи з цієї системи Л, одержимо:

 

2х        Л = =У

2х        л==У

х2-у2-2 = 0     х2-у2=0 => х2+у2-2 = 0        х2=1 х2-у2=0

            .           .

Отже, критичними точками будуть:

МД-1,-1), М2(-1, 1) М3(1,-1), м4(і 1). Для перевірки достатніх умов існування екстремуму запишемо визначник в довільній точці Мух,у), враховуючи

У

 У

ср'АМ) = 2х; ср'ІМ) = 2у; L" =2Л = -*; L" = -*; L' = 1,

хУ '      гу\ j J хх          х уу х ХУ

Частина 9. Функції кількох змінних

A(M)

0 2x 2y У

2x -

x

12xz/+ 4

X

2y 1

Тепер можна знайти значення цього визначника в кожній кри-тичній точці і використати достатні умови:

(-if Д(М1) = 12(-1)-(-1) + 4^ = 12 + 4 = 16>0,

I . \ 3

Д(М2) = 12(-1)-(1) + 4^ = -12-4 = -16<0, 2шіп=г(М2) = (-1)-(1) = -1.

Д(М3) = 12-1-(-1) + 4^ = -12-4 = -16<0,

2шіп=г(Мз) = (-1)-(1) = -1. Д(М4) = 12 + 4 = 16>0,

гшах=г(Мі) = 1.1 = 1.