9.4.2. Знаходження екстремуму функцій двох змінних


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Необхідні умови існування екстремуму функцій кількох змінних дозволяють знаходити лише критичні точки.

У випадку функції двох змінних за допомогою достатніх умов існування екстремуму можна перевірити кожну критичну точку та виявити, який саме екстремум існує в цій точці.

+ Теорема. (Достатні умови існування екстремуму). Нехай в околі критичної точки М0(х0, уА функція z = f(x,y) має неперервні частинні похідні до другого порядку включно

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

d2f(x0, y0)       d2f(x0, уЛ       d2f(x„ уЛ

(rtuY    (?)іЛ    ?> ?>

Тоді:

1)         fix, y) має максимум, якщо an-a22 -a22 >0 та an<0;

2)         fix, y) має мінімум, якщо an -a22 -af2 > 0 та an >0;

3)         fix, y) не має екстремуму, якщо an -a22 -af2 < 0 ;

4)         якщо an -a22 -a22 = 0, тоді екстремум в точці M0 може

існувати, а може і не існувати, тобто в цьому випадку треба використовувати іншу достатню ознаку.

Ш Приклад 8. Дослідити на екстремум функцію z = х2 - ху + у2 + Зх - 2у +1.

^> Розв’язання. У прикладі 7 для цієї функції знайдена критична точка М0(—4/3, 1/3). Застосуємо достатню умову. Маємо:

Кх=^(2х-у + 3) = 2; г;х=^(2х-у + 3) = -1; гуу=2.

Тому ап-а22 — а22 = 2-2 — (—1) = 3>0 та ап = 2>0.

Згідно з другим твердженням теореми в точці М0(—4/3, 1/3) задана функція має мінімум:

1641 , 2 , 4

= — + - + --4-- + 1 = —.

99 9     3          3

Частина 9. Функції кількох змінних