Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_c04e6015a4fe042036e8141d92b19396, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
9.2.2. Повний приріст та повний диференціал функції : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

9.2.2. Повний приріст та повний диференціал функції


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Нехай функція z = f(x,y) в деякій області D неперервна і має

частинні похідні f'x та f . Візьмемо в цій області D довільну точку

М0 (х0, у0 J та знайдемо відповідне значення функції f(x,y), потім дамо приріст обом аргументам і підрахуємо значення f(x0 + Ax, г/0 + Аг/) функції в точці Мх (х0 + Ах, у0 + Аг/). Отже, ми одержимо приріст функції

Az = f (х0 + Ах,у0 + Ay)- f (х0,у0),

який називають повним приростом функції z = f(x,y) в точці

Перетворимо Аг шляхом віднімання та додавання величини f(x0,y0+Ay) до вигляду

Az = [f(x0+Ax,y0+Ay)-f(x0,y0+Ay)] + [f(x0,y0+Ay)-f(x0,y0).

Частина 9. Функції кількох змінних

Різниці у квадратних дужках можна розглядати як приріст функції тільки відносно одного аргументу.

Застосуємо до кожної різниці формулу скінченого приросту Лаг-ранжа, одержимо

& = /Д х0 + вЬх,У0 + АУ) ■ Д* + /Д х0 ,У0 + &АУ) ■ АУ , де 0<в, 6><1.

Якщо частинні похідні неперервні в точці М0[х0,у0), тоді по-вний приріст функції можна записати у вигляді

Аг = /;(х0, у0 )• Ax + fy(x0, у0) • Ьу + аАх + /ЗАу, де а та /3 прямують до нуля, коли Ах —> 0 , А.у —> 0.

• Означення 8. Головна, лінійна відносно Ax ma Ау частина повного приросту функціг називаеться повним диференціалом

функції z = /(x,z/) і позначається dz або df(x,y).

Отже, повний диференціал функції двох змінних знаходять за формулою

dz = f'x (х0, у0) Ax + f (х0, у0) Ау.    (5)

Оскільки dz = Аг = /(х0 +Ах,у0 +Аг/)Ах-/(х0,г/0), тому

f(x0+Ax,y0+Ay)~f(x0,y0) + f;(x0,y0)Ax + fy(x0,y0)Ay. (6)

Формула (6) дозволяє знаходити наближене значення функції двох змінних.

■ Приклад 5. Зайти наближене значення функції z = х + 2ху + у в точці МД103 197).

^> Розв’язання. Потрібне значення заданої функції знайдемо за формулою (6). Нехай М011, 21, тоді Ах = 0,03; Ау = —0,03.

г(М0) = 1 + 2-1-2 + 23 =13,

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

dz(M0) z'=2x + 2y^ V ; = 2-1 + 2-2 = 6,

 dz(MA ^=2x + 3y 2^> v 0;=2-1 + 3-2 2=14.

Підставимо ці значення у формулу (6) і одержимо:

z(M1) = 13 + 6 -0,03 + 14- (-0,03) = 13 + 0,18-0,42 = 12,76.



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_c04e6015a4fe042036e8141d92b19396, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0