Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_ad2ef44cef8da5c7e2bc2333fb73070c, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
9.2. Частинні похідні та диференціал першого порядку 9.2.1. Частинні похідні першого порядку та за напрямом вектора : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

9.2. Частинні похідні та диференціал першого порядку 9.2.1. Частинні похідні першого порядку та за напрямом вектора


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Якщо у функції декількох змінних w = f ух1,х2,...,хп) змінна

xk (k = 1, 2,..., п) одержить частинний приріст Axk, а всі інші неза-лежні змінні зафіксувати, тоді функція одержить частинний приріст

за аргументом xk.

 А^да

Ф Означення 7. Якщо існуе границя lim    незалежна віо спо-

Щ^о kxk собу прямування Axk —> 0, modi п називають частинною похідною першого порядку функції w = f (ухі,х2,...,хп) по змінній xk(k = l,2, ..., п) і позначають

dw       df(x1,x2,...,xk,...,xn)    ,

—— або         або w .

oxk      dxk      k

Отже, за означенням частинна похідна буде

dw       Kkw

            = lim    .           (1)

dxk ^к^ Axk

При знаходженні частинної похідної по змінній xk усі інші аргу-

менти слід вважати постійними величинами і тому можна викорис-товувати правила диференціювання та таблицю похідних функцій однієї змінної.

У випадку функції двох змінних 2 = f(x,y) можна надати гео-

метричну та механічну інтерпретацію частинної похідної першого порядку а саме:

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

-          похідна Z' [Z'\ чисельно дорівнює тангенсу кута нахилу до-тичної до кривої лінії, яка утворюється перетином поверхні Z = f[x,y) площиною х = х0(у = Уо)\

-          механічний зміст Z'' (Z'A - це швидкість зміни функції Z у напрямку осі О (Ох), коли аргумент х(у) не змінюється.

В Приклад 3. Об’єм продажу нового продукту х залежить від часу t і витрат А підприємства на рекламу. Якщо t вимірювати тижнями, a А в гривнях, тоді ця залежність має вигляд

х = 200(5-е-°'002л)(і-^).

0 „ дх дх

онаити —, — і вказати економічнии зміст цих похідних при

dt ВА

 

t           = 1 Л = 400.                                                 

            \ Розв’язання. Маємо:                                             

            дх /_ — = 200 5-

dt У     е-0,002Л^       -«-)'.■  200(5   _e-0,002Aje-t

            дх /, — = 200(1-         е-()(5-е-          0,002,4 \' / A   = 0,4(1-           е-г)е    -0,002,4

200(5-е-°'8)е-1-335, 0,4(1 -бГ1)^0'8 =0,11.

При t = 1 та A = 400 одержимо

дх dt

А=А()()

дх дА

А=Ш)

Частина похідної xt характеризує швидкість зміни об’єму про-

дажу нового продукту за тиждень, коли витрати на рекламу не змінюється.

Частина 9. Функції кількох змінних

Частинна похідна хд характеризує швидкість зміни об’єму про-

дажу продукту при зміні суми витрат на рекламу і постійному t-При витратах на рекламу 400 гривень швидкість зростання об’єму продажу продукту за один тиждень буде 0,11.

Частинну похідну функції u = f(x,y,z) за напрямом вектора

/ =[1Х,1 ,ІЛ знаходять за формулою

ди ди  ди п ди

^г = —COSQT + —COSO +—cosr

ді дх    ду Н dz г'

(2)

 

де

cosa = %; cosj3= у

; cosf =

Напрям найбільшої швидкості зміни функції и = f(x,y,z) співпа-дає з напрямом вектора (його називають градіентом функції и )

 ди -г ди -: ди т gradtt = —г +—j +—k дх ду dz

(3)

а величина цієї найбільшої швидкості дорівнює довжині цього векто-ра, тобто

Igradd =,

ди дх

+

ду) [dz

(4)

■ Приклад 4. Знайти величину найбільшої швидкості зміни

функції и = 1х у          у z-\     z в точці М0 (1,0,9).

^> Розв’язання. Частинні похідні першого порядку в цьому випад-ку будуть

ди , .    ди

— = \Аху; —

дх        ду

 

ди dz

 7 7x2-7yz; — = \Az2—у2.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Величину найбільшої зміни заданої функції и в будь-якій точці знайдемо за формулою (4)

|gradi/| = J(14x?/)2 + 72(х2 -уг\ + 14z2--z/2 =

2 (        U2 V

[2г2 У

7- Ux2y2+(x2-yz)

v

2 у

Шдставимо замість х, У, z координати точки М0, тоді

gradw(M0) = 7 • л/4 • 1 • 0 + (1 — 0) +4-81 = 7v325 = = 35-\/13= 35-3,6 = 126 (одиниць вимгру).



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_ad2ef44cef8da5c7e2bc2333fb73070c, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0