9.1.3. Границя та неперервність


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

•          Означення 4. Околом радіуса г точки M0(xw, х20, ..., хпА

називають сукупність усіх точок М(х1, х2, ..., хп) простору Еп,

відстань яких до точки Мп менше або дорівнюе г, тобто виконуеться співвідношення

^\yXy—Xwj +{Х2—Х2о) +... + [хп — Хп0 ) sr.

•          Означення 5. Число А називають границею функції

w = f[xvx2,...,xn) [або w = f(M)^j в точці M0(xw, х20, ..., хА, якщо для будь-якого є > 0 знайдеться число г таке, що для усіх то-

чок J.VA I .А- л у .А- п j • • • у Jvj, ) з околу радіуса г точки М0, відмінних від точ-

ки Мп, виконуеться нерівність

f(xv х2, ..., х\-А<є або |/(М)-Л|<£-. Використовується позначення:

lim fix., х„, ..., х ) = А або lim fiM) = A.

Частина 9. Функції кількох змінних

на-

• Означення 6. Функція w = fyxvx2,...,xn) (w = f(M))

зиваеться неперервною в точці М0(х10, х20, ..., хпА, якщо вона

визначена в цій точці і lim /(M) = /(M0) незалежно від способу

м^>м

прямування точки М до точки М0.

Функція, неперервна в кожній точці деякої області, називається неперервною в цій області.

Якщо функція неперервна в області D та на її межі dD, тоді

кажуть що вона неперервна в замкненій області D = D U dD.

При знаходженні області неперервності функції багатьох змінних доцільно використовувати слідуючу властивість неперервних функцій:

області визначення та неперервності функцій співпадають.

Крім цієї властивості неперервних функцій часто використову-ють ще таку властивість:

функція, неперервна в замкненій області D, обмежена, тоб-

то існують такі числа ш та М, що виконується співвідношення

m

<f(xv х2, ..., х„)<М для усіх (xv х2, ..., xn^eD.