1.8. Властивості прямих та обернених теорем


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

+ Теорема. Нехай АДх), А2(х),..., AN(x), ma ВДх), В2(х),..., В^х) - невизначені висловлення, що задані на деякій множині М та мають такі властивості:

1)         для будь-якого х множини М мае місце хоч би одне з висловлень А,(х), AJx),..., AJx);

2)         вірні теореми АДх) —> ВДх), А2(х) —> В2(х),..., AN(x) —> RN(x);

3)         висловлення ВДх), В2(х),..., В^х) взаемно виключають одне одного, тобто (для довільно взятого х), якщо одне з них буде істин-ним, то всі останні обов’язково хибні. Тоді усі обернені теореми В,(х)^ А,(х), В„(х)^ AJx),... В..(х)—» AJx) також будуть вірні.

Доведемо справедливість теореми YiJx) —> AJx), для будь-яко-го К (К=1, 2, N).

Нехай висловлення YiJx) буде істинним. Висловлення А..(х) при МфК не може бути істинним тому, що інакше згідно з умовою 2 теореми було б істинним і Вм(х), а це не можливо згідно з умовою 3. Але якщо усі висловлення крім Ак хибні, тоді згідно з першою умовою теореми повинно бути істинним висловлення Ак(х).

Отже, якщо істинне YiJx), тоді істинне і AJx), тобто має місце

 ft\        ^/\

теорема BJx)^ AJx).

^ Зауваження. При вказаних умовах теореми завжди мае місце хоча б одне з висловлень BJx), BJx),..., BJx), а висловлення AJx),

1\         2^        Nx       Iх

AJx),..., AJx) взаемно еиключають одне одного.

2 \        ]у\

■ Приклад. Розглянемо квадратне рівняння

ах1 + Ьх + с = 0         (2)

з дійсними коефіцієнтами та D = Ь1 - 4ас.

Розглянемо невизначені висловлення на множині усіх рівнянь вигляду (2):

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

A,        =          (D > 0}, A„ = (D < 0}, AQ = (D = 0},

B,        =          {корені рівняння (2) дійсні та різні},

В„        =          {рівняння (2) не має дійсних коренів},

В„        =          (корені рівняння (2) співпадають}.

Неважко бачити, що усі висловлення А,, А„, А„, В,, В„, В„ задо-

 j          2          З          V 2      6

вольняють умовам наведеної теореми. Тому вірні не тільки прямі

теореми але й обернені.

Наприклад, перша з цих обернених теорем така: якщо корені рівняння (2) дійсні та різні, тоді D > 0.