8.5.5. Загальна схема дослідження функції і побудови її графіка


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Графік заданої функції можна будувати по довільних точках. Для цього обирають довільним чином деяку кількість точок. Чим більше кількість обраних точок, тим точніше буде зображено графік функції.

Одержані вище результати дозволяють спростити цю задачу шляхом обирання не довільних точок, а характерних саме для зада-ної функції.

Для науково обґрунтованого дослідження функції та побудови її графіка доцільно дотримуватись такої схеми:

Перший етап (використання виду заданог функціг)

1.         Знаходимо область визначення функції, точки розриву, інтер-вали неперервності.

2.         Досліджуємо функцію на парність чи непарність, періодичність.

3.         Знаходимо асимптоти графіка функції.

4.         Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Другий етап (використання похідног першого порядку)

5.         Знаходимо критичні точки першого роду, інтервали зростання

та спадання функції, точки екстремумів та екстремальні значення

функції.

Третій етап (використання похідног другого порядку).

6.         Знаходимо критичні точки другого роду, інтервали опуклості

та угнутості графіка функції, точки перегину та значення функції в

точках перегину.

Четвертий етап.

7.         Згідно з результатами дослідження будуємо у системі коорди-

нат отримані точки, асимптоти і будуємо графік функції з урахуван-

ням інтервалів неперервності, зростання та спадання, опуклості та

угнутості, асимптот графіка.

2л;-1

■ Приклад 14. Дослідити функцію у =       ^ та побудувати її

(х-1) графік.

^> Розв ’язання. Задана функція має розрив в точці х = 1, тому

(—°°, 1)U(1, °°] область неперервності цієї функції.

Задана функція не буде парною або непарною. Знайдемо асимптоти графіка функції. Однобічні границі функції в точці розриву будуть

Отже, пряма x = 1 є вертикальна асимптота. Перевіримо, чи має ця функція похилі асимптоти:

JL_JL

k = lim 5= lim Х о Х л = 0 •

2

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Отже, похилих асимптот не має. Шукаємо горизонтальні асимп-тоти:

1_JL

Ь = lim 7г = lim х х = 0.

Тому пряма у = 0 буде горизонтальною асимптотою.

Тепер знайдемо точки перетину графіка функції з осями коорди-

нат:

при х = 0 маємо у = — 1, тобто точку М0 (0, —1);

при у = 0 одержуємо х = Мл; тобто точку Mj ( 79 > 0) •

Переходимо до другого етапу дослідження. Похідна функція буде

у' =

2(x-2)2-2(x-l)(2x-l)2x-2-4x + 2 -2х

(х-1)4

(х-іу     (у

Похідна не існує в точці х = 1 і дорівнює нулю при х = 0. Отже, критичною точкою першого роду буде лише точка х = 0 тому, що X = 1 не належить області визначення функції.

Складемо таблицю з врахуванням точки розриву та критичної точки.

Таблиця 3

 

X         (-оо, 0)            х = 0    (0,1)    х = 1    (too)

/'М       -          0          +          не існує          -

/(*)      \           min       /           не існує          \

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Отже, на інтервалі (0, 1) функція зростає, а в інтервалах (— оо 0)

та М; оо) - спадає.

Екстремальним значенням функції буде

Ушіп=/(0) = -1.

Знайдемо інтервали опуклості та угнутості графіка, точку пере-гину за відповідною схемою: друга похідна має вигляд

„ 2(2х + 1)

V =      ■

(х-1) 4

Звідси знаходимо критичні точки другого роду:

х = — Vr> та % = 1 > але точка % = 1 не належить області визна-чення функції.

Складаємо таблицю з врахуванням точки розриву та х = ~ Уп .

Таблиця 4

 

X         Ml        1

х = — 2           (4 •)     х = 1    (t~)

/'М       -          0          +          не існує          +

/(*)      /^\        точка перетину         Ч_У     не існує          vy

Отже, на інтервалі —°°, — графік функції опуклий, а в інтер-

валах —, 1 та (1, °°) графік угнутий.

Значення функції в точці перегину буде у = f\ — = —

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

X

За одержани-ми результатами будуємо графік заданої функції (мал. 8).

–1

Мал. 8.