8.5.4. Асимптоти кривої


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Ф Означення 13. Пряму лінію називають асимптотою кривої

y = f(x), якщо відстань точки М кривог від ціег прямог прямуе до нуля при віддалені точки М в нескінченність.

Асимптоти можуть бути вертикальними, похилими, та горизон-тальними (мал. 7).

Вертикальні асимптоти існують, коли функція має розриви дру-гого роду. Якщо а точка такого розриву, то х = а буде рівнянням вертикальної асимптоти.

Рівняння похилої асимптоти будемо шукати у вигляді рівняння

прямої з кутовим коефіцієнтом, тобто у вигляді у = kx + b. Відстань

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Y л

точки Мух,у}, що належить кривій y = f(x), до прямої

у = kx + b можна на-

ближено виразити че-рез різницю між орди-натами кривої та прямої при однаково-"у му значенні х '■

d = f[x)-[kx + b)-

Мал. 7.

За означенням асимптоти d —> 0 при х —> ±°°, тобто

lim lf(x)-kx-b\ = 0-Якщо цю рівність поділити на х, то одержимо:

lim

/W к ь

X

х

 0.

b

Але lim — = 0, тому

k= lim

/(x)

х

(25)

то похилої асим-

Якщо не існує скінченого значення lim

X

птоти не існує. Якщо вказана границя існує, то за формулою (25) знаходимо k, а за формулою

b= lim [ f(x)-kx\

(26)

знаходимо b і таким чином одержимо рівняння похилої асимптоти

вигляду у = kx + b. Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Якщо k = 0, то за формулою (26) одержимо

Ь = lim fix),      (27)

X—>±и ^ '

і пряма у = Ь буде горизонтальною асимптотою.

■ Приклад 13. Знайти асимптоти кривої у = х + е~х.

^> Розв’язання. Задана функція не має точок розриву другого роду, тому крива не має вертикальних асимптот.

Рівняння похилої асимптоти будемо шукати використовуючи формули (25) та (26). Маємо:

х + е~х ( \ Л

& = lim            = 1іт 1 +          =1.

ж^со х х^~у х-ех)

При х —> —°° не має скінченної границі, тобто k не існує. Ь = lim(x + е~х -х) = \іше~х =0.

Отже, крива у = х + е~х має при х —> °° похилу асимптоту г/ = х.