8.5.3. Опуклість та угнутість графіка. Точки перегину


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

• Означення 10. Криву у = f[x) називають опуклою на інтер-

валі \а,и), якщо усі точки графіка функції лежать нижче п дотич-них на цьому інтервалі.

Криву y = f\X) називають угнутою на \а,Ь), якщо усі точки графіка функціг лежить вище п дотичних на цьому інтервалі. Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

y = f(x)

X

Fa

Мал. 5.

Функція, зображе-на на малюнку 5, на

інтервалі [a,bj опукла,

а на інтервалі {b,cj уг-нута.

Ф Означення 11.

Якщо в досить малому

околі точки дотику х0

крива зліва ціег точки лежить no один бік до-

нази-

тичної, а справа - з іншого боку дотичної, то точку [X = х0) вають точкою перегину кривої.

Тепер розглянемо ознаки опуклості та угнутості кривої. + Теорема. Якщо в усіх точках інтервалу (a,b) f"(x) > 0 то крива у = f(x) є угнутою на цьому інтервалі; якщо f"(x)<0 на

деякому інтервалі, то крива у = f(x) опукла на цьому інтервалі.

Замість строгого до-

n Y

ведення теореми обме-жимось геометричним поясненням. Розглянемо

функцію у = f(x), графік

якої угнутий (дивись на-приклад, мал. 6).

Візьмемо декілька то-

X

чок M1, М2, М3, ... кри-

вої, розташованих в по-рядку зростання їх абсцис

Мал. 6.

^Л/1 ^^ .Л-2 ^^ ^Л/3 ^ ...

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Кут нахилу дотичних до кривої в обраних точках також зростає, тобто ах <ос2 <ос3 <... . Тому tgc^ <tgor2 <tgor3 <... .

Але тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції в деякій точці дорівнює значенню похідної в цій точці, тому

Отже, похідна f\XJ - зростаюча функція, а тому її похідна до-

датна, тобто f'(x) >0 або f"(x)> 0.

Таким же чином можна пояснити ознаку опуклості. Згідно з оз-начення 11 зліва та справа від точки перегину крива змінює опуклість

на угнутість або угнутість на опуклість, тому друга похідна f"(x)

no різні сторони від точки перегину буде мати різні знаки, а в самій точці перегину дорівнює нулю або не існує. Звідси випливає сліду-юче правило для знаходження точок перегину.

Правило. Точка х = х0 буде точкою перегину кривог у = f (х), якшр:

1)         f"(x0) = 0 або f"(x0) не існуе;

2)         знаки f"(x) зліва (х<х0) та справа (х>х0) різні. Якщо f"(x) не змінює свій знак при переході аргументу через

хп, то при х = х,, перегину не буде.

Рівність умови 1 цього правила називають необхідною умовою, a умову 2 - достатньою умовою існування точок перегину графіка функціг.

ф Означення 12. Значення х, при яких f"(x) = 0 або не існуе, називають критичними точками другого роду функції f(x).

Ш Приклад 12. Знайти інтервали опуклості, угнутості та точки

х

перегину функції у = е 2 (крива Гауса). Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

^> Розв’язання. Знайдемо другу похідну цієї функції. Маємо:

х

у' = -хе 2

у" = -е 2 +х2е 2 =Є 2

у-і).

Друга похідна визначена для усіх х. Тому критичні точки друго-го роду знайдемо із рівності у" = 0: хі=—1, х2 = 1.

Визначимо знак другої похідної при проходженні х через кожну критичну точку. За результатами цього дослідження складемо таб-лицю 2.

Таблиця 2

 

X         (-oo,-l) хі = -1  (-14)    х2=1    (too)

/'М       +          0          -          0          +

/(*)      Ч_У     точка перегину          /^\        точка перегину          v_y

-1/2

Отже, обидві точки д; = — 1 та х = 1 е точками перегину; ( —1 1 j -інтервал опуклості; (—°°, -1), (1 °°) - інтервали угнутості графіка. Значення функції в точках перегину буде у = f(+l) = e~